Tema 11 - Relaciones Métricas En Los Triángulos Rectángulos

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  41UNI SEMESTRAL 2013 - IIIGEOMETRÍATEMA 12 RELACIONES MÉTRICAS EN LOSTRIÁNGULOS RECTÁNGULOS GEOMETRÍA I.PROYECCIONES Proyección ortogonal de un punto sobre una recta esel pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. Asi la proyección ortogonal del punto P sobre la recta  L  es el punto P'. La perpendicular PP' se llama pro-yectante. Si el punto pertenece a la recta su pro-yección sobre ella es el mismo punto. Asi la proyecciónde Q sobre  L  es Q'.La proyección de un segmento sobre una recta es elconjunto de todos lo puntos de la recta que son pro-yecciones de los puntos del segmento sobre la recta. II.SEMEJANZAS EN EL TRIÁNGULO REC-TÁNGULO Teorema En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente ala hipotenusa divide al triángulo en dos triángulos se-mejantes entre sí y también semejantes al triángulo dado.   AHB  BHC   ABC III.RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁN-GULO RECTÁNGULO  A.Teorema del cálculo del cateto El cuadrado de la longitud de cada cateto es mediaproporcional entre su proyección sobre la hipote-nusa y la longitud dicha la hipotenusa.De la figura: ABC ~ BDCamba  Efectuando:a 2  = b.m Análogamente:c 2  = b.n B.Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo la suma de los cuadradosde las longitudes de los catetos es igual al cuadradode la longitud de la hipotenusa.Del teorema anterior:ã a 2  = (b.m)ã c 2  = (b.n)   DESARROLLO   DEL TEMA  42UNI SEMESTRAL 2013 - IIIGEOMETRÍA RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS  TEMA 12 Exigimos más!  Sumar:a 2  + c 2  =   b bmn   Luego:a 2  + c 2  = b.ba 2  + c 2  = b 2 C.Teorema del cálculo de la altura La longitud de la altura relativa a la hipotenusa en medioproporcional entre las longitudes de los segmentosque determina dicha altura sobre la hipotenusa.  °  °   °  ° h A  D Cm nB De la figura: ADB ~ BDChmnh  Luego: (h) 2  = (m.n) D.Teorema del producto de catetos El producto de las longitudes de los catetos es igualal producto de las longitudes de la altura relativa ala hipotenusa y la hipotenusa.  A D CbcaBh  °  °  ° De la figura:ADB ~ ABChcab  Luego: (a.c) = (b.h) E.Teorema de un triángulo rectángulo La inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativaa la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados delas inversas de las longitudes de los catetos.  A  D Cbc aBn mh Se cumple que:b 2  = a 2  + c 2  ............ (1)b.h = a.c ................ (2)(1) y (2) 2 222222222 bacbhacac     222 111hca   IV.PROPIEDADES 1. 2 xa.m   2. 2 xm.n   3.Si: P, Q y T son puntos de tangencia.x2   R.r   4.  43UNI SEMESTRAL 2013 - IIIGEOMETRÍATEMA 12 Exigimos más!  RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS  Si: P y Q son puntos de tangencia.PQMN   5. 2222 abmn     6.Para todo cuadrilátero de diagonales perpendiculares. 2222 (AB)(CD)(BC)(AD)     Problema 1 En la figura hallar BM; si: AM = MC y AB 2  – BC 2  = 8 y mBCA2mAMN    . Nivel fácil   A)2B)3C) 22 D) 32 E)2,5 Resolución:  Piden: BM = xSe observa:CBM  : isóscelesCB = CM = bLuego: ABC  : Teorema mediana 2222 (2b)ab2x2    222 ab2x    8 = 2x 2 2x   Respuesta:  A) 2  Problema 2 En el gráfico mostrado, ABCD es uncuadrado, ADC es un sector circular concentro en D, mABMymADM       .Calcule tan   en términos de  . UNI 2010-II   A)1sen1cos    B)1cos1sen    C)2cos2sen    D)1sen1cos    E)1cos1sen    Resolución:  Ubicación de incógnita Piden la Tan   ABM en función  .  Análisis de los datos o gráficos Trazamos MNAB   y MPAD   deter--minándose dos s MNB y MPD. Operación del problema En los s MPD y MNB colocamos laslongitudes de sus catetos como semuestra en el gráfico, en el triángulorectángulo BNM calculamos: MNTanNBR–RCosTanR–RSen1–CosTan1–Sen      Respuesta: E) 1–Cos1–Sen  Problema 3 En el triángulo rectángulo ABC (rectoen B) con BC = h y mCAB     , setiene inscrita una semicircunferenciasegún se muestra en la figura. Expreseél radio de la circunferencia en funciónde h y  . UNI 2009-II  problemas resueltos  44UNI SEMESTRAL 2013 - IIIGEOMETRÍA RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS  TEMA 12 Exigimos más!  UNI 2009-II   A)hcos1sen   B)hsen  C)hcos   D)hcossencos    E)hsensencos    Resolución:  Ubicación de incógnita r en f(   y h) Operación del problema ãTrazamos el radio al punto de tan-gencia (D), observando que:BC = CD = hãDEC: DE = hcos  ãDFD: FD = rSen  ãComo: FB = DE.  rSen   + r = hCos  hCosr1Sen    Respuesta: A) hCos1Sen  