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FUNZIONI GONIOMETRICHE Data una circonferenza di centro 0 e raggio r =1, associamo ad essa un sistema di riferimento cartesiano ortogonale 0xy , di origine 0, e poi segniamo sulla circonferenza un punto P e indichiamo con α l’angolo che il raggio OP forma con l’asse x. Si hanno le seguenti definizioni: PM = PM OP OM cos α = = OM OP sen tag α = cos 1 cosec α = sen 1 sec α = cos 1 cotag α = tag
sen α =
(=yp) (=xp)
Per passare da gradi a radianti e viceversa 360 : gradi = 2π : radianti , oppure 180 : g = π : r Da ricordare
In base alle definizioni si avrà: radianti
sen α
cos α
tag α
0
0
0
1
0
900
2
1
0
∞
1800
π
0
-1
0
2700
3 2
-1
0
-∞
3600
2
0
1
0
gradi
sen α cos α tag α I quadrante + + + II quadrante + III quadrante + IV quadrante + Naturalmente: - 1 ≤ sen α ≤ 1 - 1 ≤ cos α ≤ 1 -∞ ≤ tag α ≤ ∞ Funzioni goniometriche di angoli notevoli: radiante
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gradi
sen α
cos α
tag α
300
1 2
3 2 2 2 1 2
3 3
450 600
2 2 3 2
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Le funzioni senα e cosα sono periodiche di periodo 2π , cioè sen (2π + α) = sen α e cos (2π + α) = cos α mentre la funzione tagα è periodica di periodo π , cioè tag (π + α) = tag α
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Vale la seguente relazione fondamentale sen2 α + cos2 α = 1
da cui si ricava la seguente tabella: noto
senα
cosα
senα
senα
1 sen 2
cosα
1 cos2
cosα
tagα
tag 1 tag 2
tagα sen 1 sen 2
1 cos 2 cos
1
tagα
1 tag 2
Angoli associati ( riduzione al primo quadrante)
sen(-α) = sen(3600-α) = -senα cos(-α) = cos(3600-α) = cosα tag(-α) = tag(3600-α) = -tagα
sen(1800 α )= senα cos(1800 α )= - cosα tag(1800 α )= tagα
sen(900 α )= cosα cos(900 α )= senα
ESEMPI
1) sen7000= sen(7000-3600) = sen3400 = sen(3400-3600) = sen(-200) = - sen200 2) sen12300= sen(12300-10800) = sen1500= sen (1800-300) = sen300 3) sen(-5800) = -sen5800= -sen(5800-3600) = -sen2200= -sen(1800+400) = -(-sen400) =sen400
Equazioni goniometriche
Per le proprietà degli angoli associati, Poiché sen(1800- α )= senα , se x =x0 è soluzione, lo è pure x =1800- x0 Poiché cos(3600- α )= cosα , se x =x0 è soluzione, lo è pure x =3600- x0 Poiché tag(1800+ α )= tagα , l’unica soluzione sarà data da x0
( +2kπ ) ( +2kπ ) ( +kπ )
Tutte le equazioni goniometriche ( di qualsiasi grado) si possono ricondurre ai seguenti tre casi : senx = sen che è risolta da x 2k e x 2k cosx = cos che è risolta da x 2k tagx = tag che è risolta da x k ESEMPI
1) Risolvere l’equazione sen (3x-20) = sen (5x+100) Si avrà: 3x-20 = 5x+100+k3600 x1 = -60+k1800 3x-20 = 1800- (5x+100)+k3600 x2 = 21030l +k450 2) Risolvere l’equazione cos (3x+200) = cos (3x-200) Si avrà: 3x+200 = 3x-200+ k3600 impossibile 0 0 0 3x+20 = -3x+20 + k360 x = k600 Rosa Anna Bruzzese
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3) Risolvere l’equazione tag (8x-400) = tag (2x+500) Si avrà: 8x-400 = 8x-400+k1800 x = 150+k300 4) Risolvere l’equazione 2sen2x-5cosx-4 = 0 Trasformando in funzione di cosx, si avrà: 2cos2x+5cosx+2 = 0 5 25 16 1 cosx = da cui cosx = -2 e cosx = 2 4 Si sono così ottenute due equazioni di primo grado di cui la prima non ammette soluzioni mentre la seconda, che possiamo scrivere cosx = cos1200 ammette le soluzioni x 1200 2k Formule di addizione e sottrazione sen ( α ± β )= senα·cosβ ± cosα·senβ cos ( α ± β )= cosα·cosβ senα ·senβ tag tag tag ( α ± β )= 1 tag tag
Formule di duplicazione sen2α = 2senα·cos α cos2α = cos2α – sen2α 2tag tag2α = 1 tag 2
Formule di bisezione 1 cos sen = 2 2 1 cos cos = 2 2 sen 1 cos 1 cos tag = = = 1 cos sen 2 1 cos
Formule di Prostaferisi ( per trasformare somma o differenza in prodotto) senα + senβ = 2sen cos 2 2 senα - senβ = 2cos sen 2 2 cosα + cosβ = 2cos cos 2 2 cosα - cosβ = -2sen sen 2 2
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Formule di Werner ( per trasformare prodotto in somma o differenza) 1 senα·senβ = cos cos 2 1 cosα·cosβ = cos cos 2 1 senα·cosβ = sen sen 2 Formule parametriche Nelle varie trasformazioni delle funzioni goniometriche compaiono spesso i radicali. Le formule parametriche ci permettono di trasformare le funzioni senza fare uso di radicali.
sen
2 tg 1 tg
cos
2
2
1 tg 2 1 tg
2
2
2
2
tg
2 tg
1 tg 2
2
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Teoremi sui triangoli rettangoli Conoscendo un lato e un angolo, questi teoremi ci permettono di risolvere un triangolo rettangolo. In ogni triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto o per il coseno dell’angolo adiacente. In ogni triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto o per la cotangente dell’angolo adiacente. a a = c sen da cui sen = c a a = c cos da cui cos = c Lo stesso vale per il cateto b. a b
a = b tag
da cui
tag =
a = b cotag
da cui
cotag =
a b
Lo stesso vale per il cateto b.
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Risoluzione di un triangolo qualunque I teoremi più comuni che vengono utilizzati per risolvere triangoli qualsiasi sono i seguenti:
TEOREMA DEI SENI a b c sen sen sen TEOREMA DEL COSENO (o di Carnot) a2 = b2 + c2 - 2bc cos b2 = a2 + c2 – 2ac cos c2 = a2 + b2 – 2ab cos TEOREMA DELLE PROIEZIONI a = b cos + c cos b = a cos + c cos c = a cos + b cos
Teorema della corda In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al prodotto del diametro per il seno dell’angolo alla circonferenza che insiste sulla corda. Cioè: AC = 2r sen
Area del triangolo ( quando si conoscono tre elementi) bc sen S= 2 S = p( p a)( p b)( p c) dove p è semiperimetro.
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(Erone)
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