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Calcolo di tubo evaporatore per applicazioni termoelettriche

Giuseppe Francesco Nallo s184071
Corso di Complementi di Termodinamica Applicata e Termofluidodinamica Multifase
1
CONTENTS 2
Contents
1 Lista dei simboli 3
2 Introduzione 4
2.1 Parametri in ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Ipotesi di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Analisi dello scambio termico 6
3.1 Calcolo preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Suddivisione in zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.1 Determinazione del titolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.2 Determinazione del flusso termico critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Analisi delle varie zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3.1 x<0: convezione termica monofase nel liquido (Dittus-Boelter) . . . . . . . . . . 8
3.3.2 0<x<xcr: saturated nucleate boiling (Gungor-Winterton) . . . . . . . . . . . . . 8
3.3.3 xcr<x<1 (Mikopolskii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.4 x>1 (Dittus-Boelter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4.1 Coefficiente di scambio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4.2 Temperatura di parete e temperatura del fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4.3 Dryout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Calcolo delle cadute di pressione 13
4.1 Formulazioni generali della caduta di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Analisi delle varie zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.1 x<0: monofase liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.2 0<x<xcr: CISE / Friedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.3 xcr<x<1: modello omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2.4 x>1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Iterazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.4 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4.1 Profilo di pressione lungo il tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4.2 Contributo dei vari termini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Affinamento dei risultati 20
5.1 Profilo di temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.1.1 Estrapolazione lineare nei tratti monofase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.1.2 Profilo di temperatura corretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Coefficiente di scambio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Tabella riassuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6 Approfondimenti 24
6.1 Confronto fra risultati di Friedel e del modello omogeneo per il termine di attrito nella
regione pre-crisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 Grado di vuoto in funzione del titolo in funzione della pressione . . . . . . . . . . . . . . 24
1 LISTA DEI SIMBOLI 3
1 Lista dei simboli
d diametro interno del tubo [m]
A
g
frazione della cross-section del tubo occupata dal vapore [m
2
]
A
l
frazione della cross-section del tubo occupata dal liquido [m
2
]
A
tot
cross-section del tubo [m
2
]
G portata areica [kg/m
2
s]
Φ flusso termico [W/m
2
]
Φ
c
flusso termico critico [W/m
2
] (anche detto CHF)
∆h
s
sottoraffreddamento in ingresso [J/kg]
p pressione di esercizio [bar]
L lunghezza complessiva del tubo [m]
µ viscosità dinamica [Ns/m
2
]
k conducibilità termica [W/mK]
c
p
calore specifico a pressione costante [J/kgK]
σ tensione superficiale [N/m]
Re numero di Reynolds, Re =
Gd
µ
Re
l
numero di Reynolds relativo alla sola portata di liquido, Re
l
=
(1−x)Gd
µ
l
Bo Boiling number, Bo = Φ/(Gλ)
Pr numero di Prandtl, Pr =
cpµ
k
We numero di Weber
Fr numero di Froude
M peso molecolare [g/mol]
P
cr
pressione critica [bar]
P
r
rapporto fra pressione e pressione critica, P
r
= P/P
cr
[bar]
α grado di vuoto, α = A
g
/A
tot
C
f
coefficiente di attrito di Fanning
C
f,go
coefficiente di attrito di Fanning nel caso in cui tutta la portata fosse vapore
C
f,lo
coefficiente di attrito di Fanning nel caso in cui tutta la portata fosse vapore
T
w
temperatura di parete [K]
T
b
temperatura di bulk del fluido [K]
χ
tt
parametro di Martinelli turbolento-turbolento
2 INTRODUZIONE 4
2 Introduzione
In questo lavoro si conduce l’analisi ed il calcolo delle cadute di pressione e del coefficiente di scambio
termico per un tubo di un generatore di vapore ad attraversamento forzato subcritico. Il moto dell’ac-
qua è ascendente ed il flusso termico è imposto. L’obiettivo è quello di caratterizzare le regioni del tubo
in base ai meccanismi di scambio termico, ed inoltre di calcolare la caduta di pressione complessiva
causata dall’attraversamento della lunghezza del tubo.
2.1 Parametri in ingresso
Dati geometrici
Diametro interno D
i
= 12, 16 [mm]
Lunghezza 2ř passaggio L
2
= 15, 80 [m]
Lunghezza 3ř passaggio L
3
= 10, 40 [m]
Lunghezza 4ř passaggio L
4
= 14, 10 [m]
Numero totale tubi 336 + 336 + 264 + 264
Rugosità relativa del tubo
ε
d
= 0.002
Portata totale
W
tot
= 1050[t/h] = 291, 67[kg/s]
Dati in ingresso e in uscita
Pressione ingresso 2ř passaggio P
i
= 195 [bar]
Temperatura ingresso 4ř passaggio T
i
= 613 [K]
Temperatura uscita 4ř passaggio T
o
= 673 [K]
2.2 Ipotesi di base
1. Si considerano i tre passaggi come un unico tubo di lunghezza
L
tot
= 15, 8 + 10, 4 + 14, 1 = 40, 3 [m]
In tal modo si trascurano le perdite concentrate associate al deflusso fra un passaggio e l’altro.
È qui opportuno notare che il reale arrangement dei tubi, di tipo serie-parallelo, comporta che
le perdite di questo tipo non siano generalmente trascurabili.
2. Si ipotizza la portata totale equipartita fra i singoli tubi, ottenendo
W
singletube
= 291, 76/(2 · 336 + 2 · 264) = 0, 243[kg/s]
Si tratta di una ipotesi valida in prima approssimazione.
3. Si assume che il flusso sia scambiato uniformemente lungo tutta la lunghezza del tubo. In
realtà, come si vede in figura, tale flusso sarà disuniforme, con un massimo in corrispondenza dei
bruciatori. La figura è stata scelta anche il quanto rappresentativa della procedura seguita per
la determinazione del flusso critico con la correlazione di Bowring.
4. Si ipotizza l’assenza di fenomeni di disequilibrio termodinamico quali il subcooled boiling. A
livello applicativo, tale ipotesi si traduce nel calcolare l’entalpia alla quota z da un bilancio
globale.
2 INTRODUZIONE 5
2.3 Metodologia
La procedura seguita è stata quella di partire dall’analisi con delle ipotesi sulle grandezze termodi-
namiche fondamentali, ipotesi progressivamente rimosse al procedere delle iterazioni. In particolare, il
procedimento seguito può essere riassunto come segue:
• suddivisione della lunghezza del tubo in 100 tratti;
• calcolo assumendo pressione costante: determinazione delle proprietà del fluido rappresentative
di ciascun tratto in funzione della pressione (e della temperatura, nei tratti monofase). In prima
approssimazione si assume un andamento lineare della temperatura del fluido nei tratti monofa-
sici;
• determinazione delle quattro zone, in seguito al calcolo del flusso termico ottenuto dal bilancio
globale (calcolando per il momento l’entalpia di uscita alla pressione in ingresso);
• calcolo del coefficiente di scambio termico in ciascuna delle quattro zone e determinazione della
temperatura di parete;
• calcolo delle cadute di pressione con le proprietà calcolate alla pressione costante;
• iterazioni: calcolo delle proprietà per ciascun tratto alla pressione “corretta”, e progressivo aggior-
namento del valore di input fino a che l’errore relativo fra la caduta di pressione totale calcolata
in una iterazione e nella successiva diventa minore di 0.01;
• con il dato della caduta di pressione complessiva è possibile ricalcolare il valore dell’entalpia in
uscita dal tubo, e quindi del flusso termico;
• una volta che anche il punto precedente ha portato ad una convergenza sodisfacente si esegue
una validazione dei profili di temperatura usando Xsteam;
• inserendo i nuovi profili di temperatura si studia cosa accade alle cadute di pressione ed alle
proprietà calcolate
• si continua ad iterare fino ad una soddisfacente convergenza globale del foglio di calcolo.
Ad ogni iterazione si è tenuto conto delle variazioni nelle zone di “interfaccia” fra le varie regioni.
Tali zone sono particolarmente delicate e non sempre si denota una transizione “smooth” fra le zone
caratterizzate mediante correlazioni differenti.
Restano le ipotesi di flusso termico costante: non vengono tenute in conto le conseguenze di un
flusso variabile con la coordinata assiale, come quello che ci si aspetterebbe a causa della presenza dei
bruciatori in corrispondenza del secondo passaggio. Inoltre non si cerca di analizzare nel dettaglio i
fenomeni di disequilibrio termico.
3 ANALISI DELLO SCAMBIO TERMICO 6
3 Analisi dello scambio termico
3.1 Calcolo preliminare
Entalpia in uscita, calcolata per il momento alla pressione in ingresso
h
out
= h(400řC,195bar)=2834,22e3[kJ/kg]
È possibile determinare la portata specifica per ciascun tubo:
G =
W
singletube
π · D
2
i
/4
=
0, 243
1, 16e − 4
= 2094, 8[kg/m
2
s]
Velocità in ingresso e in uscita

out
= (400[řC], 195[bar])=86,87[kg/m^3]
V
in
= G/
in
= 3, 29[m/s]
V
out
= G/
out
= 24, 11[m/s]
Dal bilancio entalpico complessivo sul tubo
P = W
singletube
· ∆h = 306680, 58 [W]
In base all’ipotesi di flusso costante si può scrivere
Φ =
W
singletube
π · D · L
= 199203, 88 [W/m
2
]
L’equazione implementata su excel per il calcolo dell’entalpia alla fine di ogni tratto sarà quindi
h
n+1
= h
n
+
P
n.tratti · W
Si è così valutata l’entalpia media del fluido in uscita dal tratto n-esimo (o, equivalentemente, in
ingresso al tratto (n+1)esimo).
Infine, la temperatura di bulk del fluido alla quota z è determinata, a seconda delle zone:
-da una estrapolazione lineare fra la temperatura in ingresso e la temperatura di saturazione alla
pressione calcolata in corrispondenza del tratto in cui il titolo diventa positivo, nella zona del liquido
sottoraffreddato
-da una estrapolazione lineare fra temperatura in uscita e temperatura di saturazione alla pressione
calcolata in corrispondenza del tratto in cui il titolo diventa maggiore di 1, nella zona del vapore
surriscaldato
-come Tsat(P) nella zona bifase.
La scelta di estrapolare linearmente è forzata dall’assenza, nel pacchetto di proprietà dell’acqua
usato in excel, di una relazione T(p,h). Sono infatti note due coordinate termodinamiche e, se le nec-
essarie relazioni fossero disponibili, si dovrebbe poter trovare qualsiasi altra. Come ultimo refinement
del calcolo, si userà lo script Xsteam di MATLAB (in cui è contemplata una relazione T(p,h)) per
determinare i profili corretti di temperatura nei tratti monofase). Si veda per questo la sezione 5.
3 ANALISI DELLO SCAMBIO TERMICO 7
3.2 Suddivisione in zone
3.2.1 Determinazione del titolo
Il valore dell’entalpia media in ingresso ad ogni tratto può essere impiegato per determinare il titolo
medio. L’espressione riportata è scritta in funzione di z[m] e non di n.
x(z) =
h(z) −h
l,sat
h
v,sat
−h
l,sat
Si usa quindi la formulazione con la quale il valore di x non è necessariamente compreso fra zero
ed uno. Una prima suddivisione in zone è pertanto effettuata in base al titolo, nel modo seguente:
• x<0: liquido sottoraffreddato
In base alla definizione di titolo termodinamico, tale zona si estende fino alla quota z in cui
l’entalpia media del fluido, calcolata come indicato nella sez. 2.1, raggiunge il valore dell’entalpia
del liquido saturo. Non si tiene quindi in conto il fenomeno di disequilibrio termodinamico per
cui, a titolo poco inferiori e poco superiori ad uno, coesistono liquido sottoraffreddato e bolle di
vapore, noto come subcooled nucleate boiling.
• 0<x<1: miscela bifase liquido-vapore
• x>1: vapore surriscaldato
3.2.2 Determinazione del flusso termico critico
La fenomenologia dello scambio termico cambia radicalmente fra pre-crisi e post-crisi. Il calcolo termico
deve tenerne conto sfruttando due correlazioni differenti. È pertanto necessario definire una boundary
fra la zona di forced convective heat transfer through liquid film e la zona di drop flow/liquid deficient
region.
Ci si aspetta nel caso presente una crisi di tipo dryout, dal punto di vista qualitativo perchè il
flusso non è troppo elevato e la portata è sufficientemente elevata.
Per la previsione del CHF sono disponibili due tipi di correlazioni:
1. correlazioni locali: Φ
c
= f(P, D, G, h
in
, x
loc
);
2. correlazioni globali: Φ
c
= f(P, D, G, L
tot−bollente
, h
in
).
Alla prima categoria appartiene un compendio dei risultati sperimentali ottenuti denominato CHF-
Look up table. Si tratta di una banca dati normalizzata, valida per tubi verticali raffreddati con acqua.
I dati forniti sono validi per D=8mm, ma applicando un fattore correttivo è possibile ricondursi al caso
in esame. Tale strumento fornisce un titolo critico di circa x
cr
≈ 0, 5, corrispondente a z
cr
≈ 17, 32 m.
Un esempio della seconda tipologia è offerto dalla correlazione di Bowring, sintetizzata dall’espres-
sione seguente
Φ
c
=
A

+ 0.25dG∆h
s
C

+L
valida per tubi verticali percorsi da acqua nel seguente range di condizioni:
2 < p < 190 bar;
2 < d < 45 mm;
0, 15 < L < 3, 7 m;
136 < G < 18600 kg/m
2
s.
Come si vede, la lunghezza del tubo in esame è ben oltre il range previsto da Bowring. Il titolo di
crisi previsto risulta essere x
cr
= 0, 175, in corrispondenza quindi della sezione con z = 10, 881 m.
3 ANALISI DELLO SCAMBIO TERMICO 8
Effettuando il calcolo con una correlazione più adatta al caso in esame, e cioè la seguente
x
cr
= 32, 302Φ
−0,125
G
−0,333
D
−0,07
exp(−0, 00795p)
avente range di validità
9, 8 < p < 19, 6 MPa;
200 < G < 5000 kg/m
s
s;
4e − 3 < d < 32e − 3 m,
e chiaramente appartenente alla prima tipologia, si ottiene:
x
cr
= 0, 232 ⇔ z
cr
= 12, 09 m.
Fra i tre risultati ottenuti, il più realistico è senz’altro quello fornito dalla CHF look-up table.
Tuttavia l’interpolazione risulta difficoltosa, e si preferisce quindi usare come discrimine fra la zona
pre-crisi e quella post-crisi l’ultimo valore riportato.
3.3 Analisi delle varie zone
3.3.1 x<0: convezione termica monofase nel liquido (Dittus-Boelter)
Nella prima regione monofase (liquido sottoraffreddato) è possibile ricorrere alla celebrata correlazione
di Dittus-Boelter:
Nu
d
= 0.023Re
4/5
d
Pr
n
con n=0.4 in quanto si sta fornendo calore al fluido.
Ci si aspetta un coefficiente di scambio approssimativamente costante, che porta ad una variazione
non significativa della quantità T
w
−T
sat
. La variazione di h in questa regione è infatti dovuta unica-
mente all’influenza della temperatura sulle proprietà termofisiche del fluido sottoraffreddato. Il valore
calcolato passa da circa 2,5e4 a circa 3,5e4 [W/m
2
K], e questo lieve aumento causa una diminuzione
della differenza T
w
−T
sat
.
Si confrontano in Fig.2 il profilo di temperatura ottenuto con quello atteso nella regione in esame.
3.3.2 0<x<xcr: saturated nucleate boiling (Gungor-Winterton)
In questa regione si manifestano i coefficienti di scambio termico più significativi. Si susseguono la
fase di saturated nucleate boiling e quella di forced convective boiling. Le correlazioni che forniscono
il valore di h per questa regione devono quindi tenerne conto. L’approccio di modelli quali quello di
Chen è di suddividere i due contributi:
h
b
= h
FC
+h
NB
= fh
l
+sh
pool
laddove h
b
rappresenta il coefficiente di scambio termico in flow boiling. h
NB
rappresenta la
componente di boiling ed h
fc
quella di convezione forzata. h
l
ed h
pool
rappresentano rispettivamente
il coefficiente di scambio termico che si avrebbe nel caso monofase con la sola portata liquida nel tubo
e quello di pool boiling. Il fattore f è maggiore di uno, e tiene conto del fatto che le velocità, e quindi
il coefficiente di scambio per convezione forzata, sono molto maggiori nel caso bifase rispetto al caso
monofase. Il fattore s, o fattore di soppressione, minore di uno, riduce il termine di ebollizione nucleata
considerando che nel caso di forced convective boiling lo strato limite di liquido surriscaldato all’interno
del quale le bolle di vapore crescono è più sottile rispetto al caso di pool boiling.
Per evitare le difficoltà associate all’implementazione di un modello iterativo si è scelto di fare i
calcoli con la correlazione di Gungor-Winterton [3]. Essa è strutturata allo stesso modo,
h
B
= Eh
l
+Sh
nb
3 ANALISI DELLO SCAMBIO TERMICO 9
con la differenza che in h
nb
non compare la T di parete. E, detto enhancement factor, è il cor-
rispettivo di f, mentre S è ancora una volta denominato suppression factor e rappresenta chiaramente
il corrispettivo di s.
In particolare la correlazione è strutturata come segue:
h
l
=
k
l
d
_
0.023Re
4/5
d,l
Pr
n
l
_
h
NB
= 55Pr
0.12
(−log(Pr))
−0.55
M
−0.5
Φ
2/3
E = 1 + 24000Bo
1.16
+ 1.37
_
1
χ
tt
_
0.86
S = (1 + (1.15e − 6)E
2
Re
1.17
l
)
−1
con
χ
tt
=
_
1 −x
x
_
0.9
_

g

l
_
0.5
_
µ
l
µ
g
_
0.1
parametro di Martinelli turbolento-turbolento.
Risulta evidente dalla fenomenologia dello scambio termico in questa regione che ciò che aumenta
l’efficacia dello scambio termico in convezione forzata rispetto al solo liquido, e cioè la velocità più alta,
a sua volta dovuta al restringimento della sezione (anulare) di passaggio del liquido, è anche la causa
della riduzione dell’efficacia del meccanismo di formazione delle bolle rispetto al caso di pool boiling.
Non è quindi sorprendente il fatto che il fattore di enhancement E compaia anche nell’espressione di
S, al denominatore. Ci si aspetta inoltre che E aumenti con il titolo, comportando una corrispondente
riduzione in S. Si riportano di seguito i grafici per questi due parametri in funzione della coordinata
assiale z. Si noti che i valori sono numericamente pochi a causa della correlazione utilizzata per il
titolo di crisi termica, che fornisce un risultato estremamente basso, e di conseguenza limita la fascia
di z interessata da questo meccanismo di scambio.
Figure 1: Andamento dei parametri E ed S con la coordinata assiale nella regione bifase pre-crisi
In questa regione ci si aspetta una variazione non troppo significativa del coefficiente di scambio
termico. L’andamento h(z) è riportato nella sezione 2.4.
3 ANALISI DELLO SCAMBIO TERMICO 10
3.3.3 xcr<x<1 (Mikopolskii)
Il flusso termico Φ cui il tubo evaporatore è sottoposto è relativamente costante, mentre la portata
areica G è considerevole. È pertanto ragionevole pensare che la crisi termica sia di tipo dryout, cioè
asciugamento del film di liquido a parete, piuttosto che di tipo DNB. Per questo tipo di fenomenologia
possono essere usate correlazioni della forma
Nu = aRe
b
Pr
c
Y
d
con
Re
g
=
Gd
µ
g
_
x + (1 −x)

g

l
_
Y = 1 − 0.1
__

l

g
− 1
_
(1 −x)
_
0.4
che richiamano quella di Dittus-Boelter con un fattore correttivo. In particolare in questo caso è
opportuno usare i coefficienti ricavati da Miropolskii
a = 0, 023; b = 0, 8; c = 0, 8; d = 1
3.3.4 x>1 (Dittus-Boelter)
In quest’ultima regione si può nuovamente usare la correlazione di Dittus Boelter, con le proprietà
calcolate per il monofase.
3.4 Risultati
I risultati qui presentati non tengono conto delle cadute di pressione. Nella sezione .... sarà effettuato
un confronto fra i valori calcolati tenendo in conto le cadute di pressione lungo il tubo.
3.4.1 Coefficiente di scambio termico
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B6-0-./
Figure 2: Coefficiente di scambio termico in funzione del titolo termodinamico
3 ANALISI DELLO SCAMBIO TERMICO 11
3.4.2 Temperatura di parete e temperatura del fluido
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keg|oas o| heat traas|er |a coavect|ve bo|||ag.
Whi|st the |iquid i s being heated up to the saturation temperature and the
wa|| temperature remains be|ow that necessary |or nuc|eation, the process
o| heat trans|er i s s|oç|e p|ase coocec||ce |ea| |raos]er |o ||e ||ça|1 p|ase
(region A). At some point a|ong the tube, the conditions ad|acent to the wa||
are such that the |ormation o| vapour |rom nuc|eation sites can occur.
lnitia||y vapour |ormation takes p|ace in the presence o| subcoo|ed |iquid
(region ß) and this heat trans|er mechanism is known as sa|coo|e1 oac|ea|e
|o|||oç. ln the subcoo|ed boi|ing region, ß, the wa|| temperature remains
Figure 3: Andamento dei profili di temperatura [2]
È evidente l’effetto dell’ipotesi (4) sull’ultimo tratto del profilo di temperatura di parete in monofase
sottoraffreddato: non considerando il subcooled boiling, è assente la zona di temperatura di parete
costante con temperatura di bulk che cresce. Il profilo di T
w
si comporta infatti come se il coefficiente
3 ANALISI DELLO SCAMBIO TERMICO 12
di scambio termico fosse quello di convezione forzata monofase fino al momento in cui il titolo diventa
maggiore di zero.
3.4.3 Dryout
Rispetto alla previsione per tubi verticali lisci, in base alle correlazioni usate il fenomeno del dryout
si verifica in anticipo. Nel grafico che segue si vuole apprezzare l’aumento nella temperatura di parete
dovuto al deterioramento dello scambio termico nella regione post-crisi. Si noti che nel caso in esame
la crisi termica sembra essere particolarmente poco drammatica, con un incremento della temperatura
di parete di soli
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012341256 73895125 /:;9;7<=
>:485 8:7?58@?5 A512 24170>54
2A4:3<A 9;B3;6 C9D
9;B3;6 65C8;572 45<;:7
64E:32
Figure 4: Profili di temperatura della parete e di bulk in funzione della coordinata assiale, nella zona
bifase
4 CALCOLO DELLE CADUTE DI PRESSIONE 13
4 Calcolo delle cadute di pressione
4.1 Formulazioni generali della caduta di pressione
Per un tubo di diametro d ed inclinazione θ si può scrivere in generale la seguente espressione per la
cadura di pressione:
−
dp
dz
=
4τ
d
+gsinθ +G
2
d
dz
_
1

_
.
I tre termini sono rispettivamente: attrito, gravità, accelerazione “spaziale”. Si noti che il secondo
termine può essere nullo (è il caso dei tubi orizzontali), mentre il terzo si presenta in genere quando
un riscaldamento del fluido ne provoca una variazione di densità.
In forma integrata, e quindi utile nei calcoli nel caso in esame (in cui si è discretizzata la coordinata
assiale dividendo così il condotto in 100 tratti) la formulazione appena vista si scrive, per un tratto di
tubo di lunghezza ∆z:
∆p = p
in
−p
out
=
4τ
d
∆z +gsinθ∆z +G
2
_
1

out
−
1

in
_
Nel caso bifase la formulazione è analoga, ma deve tenere conto della coesistenza di liquido e vapore.
In genere si scrive la formulazione detta a fasi separate, che prevede il calcolo del grado di vuoto (void
fraction) α. Il grado di vuoto rappresenta il rapporto fra la cross section occupata dal vapore e quella
complessiva del tubo e si esprime come segue:
α =
A
g
A
g
+A
l
=
1
1 +
1−x
x
g

l
S
dove S rappresenta la slip ratio:
S =
U
g
U
l
.
Si riportano di seguito la forma differenziale delle cadute di pressione per deflusso bifase per un
tubo di diametro d ed inclinazione θ:
−
dp
dz
=
4τ
d
+ [α
g
+ (1 −α)
l
] gsinθ +G
2
d
dz
_
x
2
α
g
+
(1 −x)
2
(1 −α)
l
_
.
Introducendo la slip density

s
= α
g
+ (1 −α)
l
ed il reciproco della momentum density
1

m
=
x
2
α
g
+
(1 −x)
2
(1 −α)
l
la forma integrata si scrive
∆p = p
in
−p
out
=
4τ
d
∆z +
s
gsinθ∆z +G
2
_
1

m,out
−
1

m,in
_
.
Dalle espressioni appena riportate emerge la principale difficoltà associata al calcolo delle cadute
di pressione in bifase, e cioè la determinazione del gradi di vuoto. I modelli disponibili sono in genere
correlazioni che consentono di determinare la slip ratio S. Un’altra insidia, meno evidente ma non per
4 CALCOLO DELLE CADUTE DI PRESSIONE 14
questo meno problematica, è rappresentata dal termine di attrito. Infatti lo shear stress a parete, τ,
viene correlato al fanning friction factor, nel caso monofase, nel modo seguente:
τ =
C
f
G
2
2
Tuttavia, le correlazioni disponibili forniscono il friction factor monofase.
Nelle sezioni che seguonoaso per caso saranno esposte le metodologie utilizzate caso per caso.
4.2 Analisi delle varie zone
4.2.1 x<0: monofase liquido
In questa zona il calcolo può essere eseguito facilmente ricorrendo alla formulazione integrata monofase.
In particolare il termine di attrito viene calcolato in base alla formulazione di Waggener per il friction
factor:
f
B
= 0, 0055
_
1 +
3
_
20000
ε
d
+
10
6
Re
_
laddove non va dimenticato che
f
B
= 4C
f
.
4.2.2 0<x<xcr: CISE / Friedel
In questa regione si usa la correlazione CISE per il grado di vuoto. Si tratta di una correlazione
indipendente dal flow pattern e quindi particolarmente comoda in una zona in cui si ha transizione da
bubbly flow ad annular flow, passando per slug flow. Una correlazione come quella basata sul modello
drift flux è invece flow-pattern dependent, e valida solo per il deflusso di tipo bubbly e slug.
La correlazione CISE fornisce la slip ratio S in funzione dei parametri y, E
1
, E
2
.
S = 1 +E
1
_
y
1 +yE
2
−yE
2
_
0.5
con
y =
β
1 −β
,
β =

1
x

1
x +
g
(1 −x)
,
E
1
= 1.578Re
−0.19
_

l

g
_
0.22
,
E
2
= 0.0273WeRe
−0.5
_

l

g
_
−0.08
,
Re =
Gd
µ
l
,
4 CALCOLO DELLE CADUTE DI PRESSIONE 15
We =
G
2
d
σ
l
.
Nell’applicare la formula è risultato per tutti i tratti che il radicando nell’espressione di S fosse
minore di 1. Si è pertanto assunto S = 1, che implicitamente indica che il grado di vuoto viene
calcolato mediante il modello omogeneo.
Tuttavia, per maggiore flessibilità del foglio di calcolo, si è scelto in questa zona di non usare il
modello omogeneo anche per il calcolo del termine di attrito della caduta di pressione. Si usa invece la
correlazione di Friedel, che fornisce un moltiplicatore di attrito bifase “liquid only”, cioè da moltiplicare
per la caduta di pressione calcolata in monofase come se tutta la portata fosse costituita da liquido
per ottenere la caduta di pressione nel caso bifase. In formule:
φ
2
lo
=
(−dp/dz)
F
(−dp/dz)
lo
.
Si riportano di seguito i dettagli della correlazione:
φ
2
lo
= E +
3.24FH
Fr
0.045
We
0.035
,
E = (1 −x)
2
+x
2

l
C
f,go

g
C
f,lo
,
F = x
0.78
(1 −x)
0.224
,
H =
_

l

g
_
0.91
_
µ
g
µ
l
_
0.19
_
1 −
µ
g
µ
l
_
0.7
,
Fr =
G
2
gd
2
h
,
We =
G
2
d
σ
h
,
dove
h
è quella calcolata in base al modello omogeneo, e cioè

h
=
_
x

g
+
1 −x

l
_
−1
.
Tale modello non funziona bene nel caso in cui
µ
l
µg
> 1000. Tuttavia, nella regione interessata,
si è ben lontani da questo valore. Tale rapporto isulta infatti, alla quota z=9.269 [m] (presa come
rappresentativa), circa pari a 2.16.
4.2.3 xcr<x<1: modello omogeneo
In questa regione si ha moto di gocce di liquido a T = T
sat
disperse nella fase vapore. Si tratta del
classico caso in cui il modello omogeneo è applicabile. Si è inoltre confortati in questa scelta dal fatto
di essere nel range di G e

l
g
in cui tale modello è applicabile.
Il grado di vuoto è pertanto calcolato dalla definizione, ponendo S=1:
4 CALCOLO DELLE CADUTE DI PRESSIONE 16
α =
A
g
A
g
+A
l
=
1
1 +
1−x
x
g

l
.
Si sceglie qui di utilizzare il modello omogeneo anche nel calcolo delle cadute di pressione per
attrito. Lo shear stress a parete viene in questo caso calcolato come
τ = f
G
2
2
h
laddove
h
è la densità omogenea (definita nella sottosezione precedente) ed f è il coefficiente di
attrito di Fanning, calcolato dalla già vista formula di Waggener, nella quale il Re viene sostituito da
Re
h
=
Gd
µ
h
,
con la viscosità omogenea espressa come
µ
h
=
_
x
µ
g
+
1 −x
µ
l
_
−1
in base alla formulazione di Isbin. Tale formulazione è generalmente considerata la meno attendibile
fra quelle a disposizione, sebbene sia la più semplice da ricordare per la sua somiglianza con quella della
densità omogenea. Nei calcoli è stata pertanto usata la formulazione proposta da Beattie e Whalley:
µ
h
= µ
g
α
h
+µ
l
(1 −α
h
)(1 + 2.5α
h
).
Si vede come usare il modello omogeneo significhi studiare le cadute di pressione come in presenza
di un deflusso monofase equivalente, laddove le proprietà termofisiche sono quelle mediate.
4.2.4 x>1
In questa regione si procede come al punto 4.2.1.
4.3 Iterazioni
Per giungere ad una globale convergenza del foglio di calcolo si è scelto di ricorrere ad un procedimento
iterativo di tipo trial-and-error. Alla sezione 2.4 il procedimento seguito è descritto nel dettaglio. Si
riportano di seguito i risultati relativi alle iterazioni relative alle cadute di pressione.
Il primo profilo di pressione è stato ricavato con le proprietà calcolate, per tutti i tratti, alla pressione
di ingresso. I valori di pressione ottenuti sono stati quindi sostituiti ai guess values per ciascun tratto
(ovvero 195 bar costanti). Excel ricalcola così le proprietà per ciascun tratto alla nuova pressione di
ingresso, ed il risultato è un nuovo profilo di pressione... and so on and so forth. Per capire quando
arrestare le iterazioni si pone come condizione che l’errore percentuale ε all’iterazione n+1, espresso
come
ε =
|∆p
tot,n
− ∆p
tot,n+1
|
∆p
tot,n
sia inferiore all’1%. Il grafico che segue mostra la rapida convergenza del procedimento (l’iterazione
zero, o guess phase, non è riportata in quanto renderebbe illeggibile il grafico: si ha infatti ∆p
tot,0
= 0).
4 CALCOLO DELLE CADUTE DI PRESSIONE 17
Figure 5: Convergenza del procedimento iterativo
Durante questa operazione è stato necessario prestare attenzione agli spostamenti di quota prodotti
nelle “interfacce” fra le varie regioni.
Per avere un’idea delle differenti velocità con cui convergono i contributi dei vari tratti, e quindi,
indirettamente, dell’influenza dell’errore commesso nel valutare le proprietà sulla caduta di pressione
nel singolo tratto, si riportano di seguito gli errori percentuali relativi alle cadute di pressione registrate
nelle varie zone, al passaggio dalla quinta alla sesta iterazione.
!"#$%&" "!!%!" !"()*$+%
(,-.,/0 10203456 !"#$%&''
7,34568 9:6;<:,5, &#")!%&*!
7,34568 905=;<:,5, &'"#+%&*+
+490:6 10203456 &,"-!%&*+

Figure 6: Errore relativo fra la quinta e la sesta iterazione nei vari tratti
Salvo la curiosità accademica di verificare per quali tratti la convergenza sia più rapida, il risultato
appena mostrato conforta riguardo l’accuratezza raggiunta dopo poche iterazioni.
I successivi raffinamenti relativi alla variazione dell’entalpia in uscita (si veda la sezione 2.4) ed
i profili di temperatura hanno una influenza relativamente bassa, pertanto si sceglie di omettere i
risultati del procedimento iterativo corrispondente. Tuttavia si noti che il valore riportato in figura 6
differisce, proprio per questi accorgimenti, da quello definitivo.
4 CALCOLO DELLE CADUTE DI PRESSIONE 18
4.4 Risultati
4.4.1 Profilo di pressione lungo il tubo
Si riporta di seguito l’andamento della pressione lungo il tubo, ottenuto una volta completate tutte le
operazioni di iterazione e refinement (comprese quelle descritte nella zezione 5).
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
184
186
188
190
192
194
196
z [m]
p

[
b
a
r
]


Liquido monofase
Correlazione di Friedel
Modello omogeneo
Vapore monofase
Figure 7: Andamento della pressione in funzione della coordinata assiale lungo il tubo
La pressione in uscita dal tubo risulta pari a 184,1 [bar].
4 CALCOLO DELLE CADUTE DI PRESSIONE 19
4.4.2 Contributo dei vari termini
Si ritiene opportuno riportare i contributi di pressione separatamente. In questa sede si rappresenta
non la caduta di pressione cumulata, bensì quella relativa al singolo tratto.
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( $)'
'()*+,-./
'() 0,*1
'()*22
Figure 8: Componenti della caduta di pressione per ciascun tratto
È evidente che il contributo di accelerazione è presente ma trascurabile in tutte le regioni. Nella
regione di liquido monofase i termini di gravità e di attrito sono confrontabili; con l’aumentare del
titolo però la densità media del fluido diminuisce, mentre aumenta la velocità e con essa le perdite per
attrito. Queste ultime diventano largamente preponderanti già nei primi tratti della regione bifase.
All’uscita dal tubo il rapporto
∆pattrito
∆ptot
risulta pari a 0,95.
5 AFFINAMENTO DEI RISULTATI 20
5 Affinamento dei risultati
5.1 Profilo di temperatura
5.1.1 Estrapolazione lineare nei tratti monofase
In questa sezione si riporta la procedura seguita per tener conto del fatto che, a causa della variazione
nel calore specifico, l’estrapolazione lineare della temperatura nei tratti monofase non è soddisfacente.
Ciò è particolarmente vero per il tratto con x>1.
Sfruttando la correlazione T(p,h), assente nel pacchetto di excel utilizzato per il resto dei calcoli ma
implementata nello script Xsteam di MATLAB, è stato possibile determinare all’inizio di ogni tratto
l’andamento della temperatura in funzione della pressione, calcolata come si è visto, e dell’entalpia,
calcolata dal bilancio tratto per tratto.
0 1 2 3 4 5 6 7
610
615
620
625
630
635
640
z [m]
T

[
K
]


T(p,h)
26 28 30 32 34 36 38 40 42
630
635
640
645
650
655
660
665
670
675
z [m]
T

[
K
]


T(p,h)
Figure 9: Confronto fra profili di temperatura del fluido estrapolati linearmente e profili calcolati in
funzione di pressione ed entalpia nei due tratti monofase
L’operazione è stata eseguita perchè la zona a titolo maggiore di uno interessa una parte consid-
erevole del tubo evaporatore, ed era lecito pensare che l’errore nel calcolo delle proprietà (funzione
5 AFFINAMENTO DEI RISULTATI 21
di p e T) risultante dall’approssimazione lineare potesse essere significativo. L’effetto sulla caduta di
pressione totale è invero trascurabile:
ε =
|∆p
lin
−∆pcorr|
∆p
lin
=
11.126−11.003
11.126
= 1, 1 [%].
5.1.2 Profilo di temperatura corretto
Tenendo conto delle cadute di pressione e di quanto detto nella sezione 5.1.1 il profilo risultante è il
seguente:
5 AFFINAMENTO DEI RISULTATI 22
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!%#
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!(#
!!#
!)#
!*#
!+#
! #$%
& #'%
,-./
,0-./
Figure 10: Profili di temperatura corretti
Tale profilo viene confrontato con uno trovato in letteratura e di seguito riportato. La differenza
fra i due profili risiede, più che nella differente grandezza usata per le ascisse, nel fatto che in quello
sotto riportato la crisi termica è di tipo DNB.
Figure 11: Profili di temperatura attesi per flow boiling in tubo verticale (il tipo di crisi è differente)
5 AFFINAMENTO DEI RISULTATI 23
Più che dall’etichetta “x=DNB”, che potrebbe essere fuorviante (in letteratura i termini “2CHF”,
“DNB”, “dryout” vengono spesso confusi ed utilizzati in modo improprio per indicare l’onset della crisi
termica ) si trae questa conclusione dalla presenza del film boiling. Questo meccanismo di scambio
termico è assente nel caso di crisi termica di tipo dryout, in cui si ha una liquid deficient region con
drop flow.
Si sottolinea qui l’anomalia del risultato ottenuto: in presenza di un basso flusso termico imposto
e di una portata areica G relativamente elevata ci si aspetta una crisi termica di tipo dryout. Tale
meccanismo però avviene in genere a titoli elevati, a differenza del caso in esame.
È opportuno ricordare che la denominazione “corretto” attribuita al profilo di temperatura qui
presentato non è del tutto appropriata. Oltre all’errore intrinseco nelle correlazioni usate per il calcolo
di h, e quindi di Tw, si ricorda che resta valida l’ipotesi 4.
5.2 Coefficiente di scambio termico
Il trend del coefficiente di scambio termico non varia significativamente se si considerano le cadute di
pressione. Si evita pertanto di riportarne il grafico nella versione “aggiornata”.
5.3 Tabella riassuntiva
Nella seguente tabella si sceglie, per chiarezza, di riportare i principali outputs dell’analisi condotta.
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D
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D
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+7;;8:4 T7>45? U?> J4?VV8J8?96? U8 ;J7:A84 6?5:8J4 K:7Y MBBDF <HO:
D
ZP
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35?;;849? 89 @;J867 U7> 6@A4 I4@6 WNE]W A75
1864>4 U8 J58;8 YJ5 BCDFX ^
_@467 J@8 ;8 T?58T8J7 >7 J58;8 O4TT?54 ;8 T?58V8J7 9?>
657664 8::?U8767:?96? I5?J?U?96?P
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Figure 12: Tabella riassuntiva dei risultati ottenuti
6 APPROFONDIMENTI 24
6 Approfondimenti
6.1 Confronto fra risultati di Friedel e del modello omogeneo per il termine
di attrito nella regione pre-crisi
Come si è detto, per una complicazione intrinseca nella correlazione di CISE, la slip ratio è stata
assunta pari ad uno, con una ipotesi propria del modello omogeneo. Si è però scelto di non usare
tale modello per il calcolo della componente di attrito della caduta di pressione in una formulazione
monofase equivalente, bensì di usare il modello di Friedel, che fornisce un moltiplicatore di attrito
bifase. Ciò è particolarmente giustificato dal fatto che in questa regione il flow pattern è generalmente
tale da non consentire l’applicazione del modello omogeneo.
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0 -1/
+,-./.0
12324.5.267 32/.0
Figure 13: Caduta di pressione per attrito calcolata con Friedel e con il modello omogeneo
È evidente che i risultati ottenuti sono quasi coincidenti. Ciò può essere ricondotto al fatto che,
a prescindere dal flow pattern, nel caso in esame si hanno G=2092.9>2000[kg/m
2
s] e, in media,

L
g
=3.17<10. Si è pertanto nel range di applicabilità del modello omogeneo.
6.2 Grado di vuoto in funzione del titolo in funzione della pressione
Si effettua tale estrapolazione grafica nella zona post-crisi, in cui il modello omogeneo è adeguato a
predire il grado di vuoto. Tuttavia, come si è detto in precedenza, il modello omogeneo è stato in
realtà applicato anche nella regione pre-crisi, quindi il grafico qui riportato potrebbe essere completato
fino a titolo nullo senza peccare di incoerenza.
Dall’espressione del grado di vuoto nel modello omogeneo (con S=1),
α
h
=
1
1 +
_
1−x
x
g

l
_,
risulta evidente come, a parità di titolo, ad un aumento del rapporto

l
g
corrisponda un aumento del
grado di vuoto. Verificando di rispettare sempre la condizione per cui

l
g
<10, si è scelto di far variare
la pressione cercando di ottenere il plot presentato da [1] e qui di seguito riportato, per comletezza.
6 APPROFONDIMENTI 25
Figure 14: Andamento del gradi di vuoto con il titolo, e dipendenza parametrica dal rapporto

l
g
[1].
Il risultato è coerente, essendo noto che il rapporto di cui sopra diminuisce all’aumentare della
pressione (come si può facilmente verificare, ad esempio, dal diagramma p-v per l’acqua ).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
thermodynamic quality
v
o
i
d

f
r
a
c
t
i
o
n


p=150 bar
p=140 bar
p=195 bar
calculated pressure profile
!
Figure 15: Grado di vuoto in funzione del titolo nella regione post-crisi, a varie pressioni
6 APPROFONDIMENTI 26
Bibliografia
1. P. B. Whalley, Boiling, Condensation, and Gas-Liquid Flow, Oxford press, 1987.
2. J. G. Collier, J. R.Thome, Convective boiling and condensation, Oxford press, 1994.
3. K. E. Gungor, R. H. S. Winterton, “A general correlation for flow boiling in tubes and annuli”
in International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 29, 1986.
4. F. P. Incropera, D. De Witt, Fundamentals of Heat Transfer, 7th ed., Wiley.
5. D.C. Groeneveld et al., “The 2006 CHF look-up table” in Nuclear Engineering and Design 237,
2007.