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Un modello monodimensionale di elasticità non locale per la statica ela dinamica dei sistemi periodici Umberto Alibrandi 1 , Nicola Impollonia 2 , Giuseppe Mercieca 1 , Giuseppe Ricciardi 1 1 Dipartimento di Ingegneria Civile, Università di Messina E-mail :
[email protected] 2 Dipartimento di Architettura, Università di Catania E-mail : nimpo @unict.it Keywords: nonlocal elasticity, periodic structures, wave propagation.SOMMARIO. Si propone un modello continuo monodimensionale di elasticità non locale cheimpiega come kernel del legame costitutivo in forma integrale la funzione di Green associata ad unoperatore differenziale del tipo () nn L L , con 22 1 L , essendo L l’operatoredifferenziale dell’equazione di Helmholtz. Il modello viene impiegato per approssimare la rispostastatica e dinamica di un reticolo periodico con interazione NNN (Next Nearest Neighbour),mostrando che per 4 n esso fornisce soluzioni più accurate di altri modelli presenti in letteratura.1 INTRODUZIONEE’ noto che gli effetti dovuti alla microstruttura giocano un ruolo fondamentale sulcomportamento meccanico dei materiali, sia in campo statico che dinamico. Questo è il caso deimateriali granulari a struttura periodica o i nanotubi e i fogli di graphene, ove l’interazione tra leparticelle tiene conto oltre che degli effetti locali anche delle forze interatomiche a distanza. Incampo statico si osservano comportamenti softening ai bordi dovuti ad una “rarefazione” delle forzedi interazione e il cui andamento dipende dal grado di interazione. Ancor di più, il comportamentodinamico dei sistemi periodici microstrutturati è fortemente influenzato dalla natura discreta delmezzo e per valori del numero d’onda prossimi ai confini della zona di Brillouin i fenomeni didispersione sono significativi e la teoria classica dell’elasticità lineare risulta inadeguata [1].Per tenere conto di questi fenomeni si possono impiegare modelli discreti o continui. I primihanno il vantaggio di rappresentare adeguatamente la realtà fisica, ma l’analisi richiede diconsiderare numerosi gradi di libertà. I secondi sostituiscono alla realtà discreta un continuoequivalente non omogeneo, per il quale le relazioni costitutive hanno carattere non locale. Dalpunto di vista matematico, ciò implica relazioni tensione-deformazione di tipo integrale, in cui latensione in un punto non dipende dalla deformazione locale nel punto, ma in un intorno (finito)sufficientemente grande di esso [2]. Si può verificare che questo approccio integrale equivale adescrivere il legame costitutivo elastico in una forma differenziale equivalente ( gradient elasticity ).Tale corrispondenza si instaura perché il kernel dell’operatore integrale costituisce l’operatore diGreen dell’operatore differenziale associato.Nel presente lavoro si propone un modello monodimensionale di elasticità non locale che impiegacome kernel la funzione di Green associata ad un operatore differenziale del tipo () nn L L , con 22 1 L , essendo x e L l’operatore differenziale dell’equazione di Helmholtz. Talemodello consente di rappresentare adeguatamente sia il comportamento statico che dinamico. Inparticolare, per quest’ultimo, il modello proposto consente di rappresentare con notevole accuratezza lalegge di dispersione e di annullare la velocità di gruppo al confine della zona di Brillouin, superando gliinconvenienti del modello di Eringen [2] e di un modello più evoluto proposto recentemente in [3]. 2 IL MODELLO MONODIMENSIONALELe equazioni di governo sono date dalle seguenti equazioni di equilibrio dinamico e dicompatibilità:()()() txbxux (1)()() xux (2)ove , () bx e () ux sono, rispettivamente la densità di massa, le forze di volume e lospostamento, funzioni della variabile spaziale; l’apice rappresenta la derivata spaziale, mentre ilpunto esprime la derivata temporale; () tx è la tensione non locale e () x è la (classica)deformazione locale, legata alla (classica) tensione locale () x mediante la legge di Hooke:()() xEx (3)Nel seguito si assume il seguente legame costitutivo elastico locale/non locale in formaintegrale, che lega la tensione non locale alla tensione locale [4]: 22 ()()(1)()() ba txxGxssds (4)ove il kernel nonlocale () Gxs è la funzione di attenuazione, dipendente dalla distanza xs , e 2 è uno scalare adimensionale che modula i due contributi locale e non locale, con 2 01 .Tenendo conto dell’eq.(3), l’eq.(4) che esprime il legame costitutivo locale/non locale puòessere riscritta nella seguente forma: 22 ()()(1)()() ba txExGxssds (5)Il kernel () Gxs è la funzione di Green di un operatore differenziale , tale che ()() Gxsxs . Applicando l’operatore differenziale all’eq.(4), si ottiene la seguenteequazione differenziale per () tx : 22 ()()(1)() txxx (6)ove la parte non omogenea è rappresentata da una espressione che dipende dalla tensione locale.Tenendo conto dell’eq.(3) si può alternativamente scrivere: 22 ()()(1)() txExx (7)Si consideri la seguente espressione dell’operatore differenziale di Helmholtz: 22 1 H (8)ove x e 0 è una costante positiva. Nel seguito si considereranno kernel associati ad operatori differenziali del tipo: 22 ()(1) nnnHH (9)Si osserva che per 1 n , l’operatore differenziale 1 H corrisponde al kernel proposto daEringen (1983): 221 1 HH , (10) 111 1()()exp2 xGxgx (11)ove 0 ea , essendo a la lunghezza caratteristica interna, la lunghezza caratteristicaesterna ed 0 e una costante caratteristica del materiale.Per 2 n , il kernel associato all’operatore bi-Helmholtz 2 H corrisponde a quello proposto daLazar et al. (2006), che assume la seguente espressione: 22442 12 H , (12) 22222 1()()exp4 xGxx (13)Per 4 n , all’operatore differenziale H corrisponde il kernel: 224466884 1464 H , (14) 3322444444 1()15156exp96 xGxxxx (15)In Fig. 1 sono rappresentate le funzioni kernel considerate, con le loro zone di influenza alvariare del parametro n . E’ possibile generalizzare facilmente ai casi in cui 4 n (pari).Fig. 1 – Funzioni kernel corrispondenti a 1,2,4 n ; a) per lo stesso valore di 124 1 ;b) per 1 1 , 21 0.777 , 1 0.589 , con medesima zona di influenza pari a circa 1 6 . -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.50.10.20.30.40.5 1 () Gx x 2 () Gx 4 () Gx -6 -4 -2 0 2 4 60.10.20.30.40.5 ) a ) b 1 () Gx 2 () Gx 4 () Gx x 3 STATICALe equazioni di equilibrio e di congruenza del problema statico si riducono alle seguenti:()()0 txbx (16)()() xux (17)a cui si associa la seguente equazione costitutiva in forma differenziale: 22 ()()(1)() txExx (18)Per i diversi casi occorre considerare il corrispondente operatore differenziale.3.1 Modello di Eringen (Helmholtz, 1 n ) In questo caso l’operatore di Helmholtz fornisce la seguente equazione differenziale: 22211 [()()]()() Exxtxtx (19)a cui occorre aggiungere le due seguenti condizioni al contorno in 0 x e xL : 211211 (0)(0)(0)(0)()()()() Ett ELLtLtL (20)3.2 Modello di Lazar et al. (bi-Helmholtz, 2 n ) Impiegando l’operatore bi-Helmholtz, esso fornisce la seguente equazione differenziale: 2224242222 [()2()()]()2()() IVIV Exxxtxtxtx (21)a cui occorre aggiungere le quattro seguenti condizioni al contorno in 0 x e xL : 233222222323222222233222222 [2(0)3(0)(0)]2(0)3(0)(0)[(0)(0)(0)(0)]()()()()[2()3()()]2()3()()[()( Ettt EtLtLtLtL ELLLtLtLtL ELL 232322222 )()()]()()()() LLtLtLtLtL (22)3.3 Modello 4-Helmholtz ( 4 n ) Utilizzando l’operatore 4 () HH si giunge alla seguente equazione differenziale: 2468444424684444 [()4()6()4()()]()4()6()4()() IVVIVIII IVVIVIII Exxxxxtxtxtxtxtx (23) con le otto seguenti condizioni al contorno in 0 x e xL : 22345674444444234567444444422444 [(0)(0)3(0)3(0)3(0)3(0)(0)(0)](0)(0)3(0)3(0)3(0)3(0)(0)(0)[3(0)4(0)7(0)10 IVVVIVII IVVVIVII E tttttttt E 345674444234567444444422344444 (0)5(0)8(0)(0)2(0)]3(0)4(0)7(0)10(0)5(0)8(0)(0)2(0)[11(0)19(0)15(0)35(0)5(0)21 IVVVIVII IVVVIVII IV tttttttt E 5674442345674444444235744444 (0)(0)5(0)]11(0)19(0)15(0)35(0)5(0)21(0)(0)5(0)[16(0)35(0)35(0)21(0)5(0)]16(0)35 VVIVII IVVVIVII VVII tttttttt E t 357444 (0)35(0)21(0)5(0) VVII tttt (24a) 22345674444444234567444444422444 [()()3()3()3()3()()()]()()3()3()3()3()()()[3()4()7()10 IVVVIVII IVVVIVII ELLLLLLLLtLtLtLtLtLtLtLtL ELLL 345674444234567444444422344444 ()5()8()()2()]3()4()7()10()5()8()()2()[11()19()15()35()5()21 IVVVIVII IVVVIVII IV LLLLLtLtLtLtLtLtLtLtL ELLLLL 5674442345674444444235744444 ()()5()]11()19()15()35()5()21()()5()[16()35()35()21()5()]16()35 VVIVII IVVVIVII VVII LLLtLtLtLtLtLtLtLtL ELLLLLtL 357444 ()35()21()5() VVII tLtLtLtL (24b)3.4 Confronto tra il modello discreto e il modello continuo Si consideri un reticolo monodimensionale di 21 particelle che interagiscono tra di loromediante interazione di tipo NNN (NextNearest-Neighbours), soggetto ad uno sforzo di trazionepari a 0.01 PnN . La lunghezza interna è 0.1421 a , mentre la lunghezza del reticolo sarà 202.842 Lanm . Si assume che l’interazione del primo ordine sia caratterizzata da unarigidezza 1 305 nN/nm k , mentre l’interazione del secondo ordine da una rigidezza 2 68,25 nN/nm k .Si vuole rappresentare la risposta di questo sistema discreto mediante il modello non localeprecedentemente proposto. E’ facile verificare che il modulo elastico del modello continuo puòricavarsi dalla seguente relazione in funzione delle rigidezze di primo e secondo ordine diinterazione 1 k e 2 k : eq EkaA , con 12 4 eq kkk . Posto nn ea , i parametri n e e 2 siscelgono in modo da ottenere la migliore corrispondenza tra le due risposte; in particolare n e definisce l’ampiezza della zona ai bordi influenzata dai fenomeni non locali, mentre 2 intervienesul valore di picco della deformazione ai bordi.Nella Fig. 2 si riporta l’andamento della deformazione estensionale per i tre modelli considerati,per i quali si sono scelti i valori ottimi dei parametri n e e 2 . Si osserva che il modello 4-Helmholtz è capace di cogliere meglio l’andamento lievemente oscillante della deformazione aibordi del reticolo, cosa che non è possibile con il modello di Eringen (Helmholtz) e che avvieneparzialmente impiegando il modello bi-Helmholtz.
