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4. EJES. Una flecha es un elemento rotatorio, por lo general de sección transversal circular, que se emplea emplea para para transm transmitir itir potenci potencia a o movimie movimiento nto.. Ella Ella consti constituy tuye e el eje de rotación u oscilación de elementos como engranes, poleas, volantes de inercia, manivelas, catarinas y miembros similares y, además, controla la geometría de su movimiento. Un eje es un elemento no giratorio que no transmite par de torsión que se utiliza para soportar ruedas rotatorias, poleas y elementos parecidos. Un eje no giratorio puede diseñarse con facilidad y analizarse como una viga estática, pero no justifica la atención especial que se le da en este capítulo a los ejes giratorios que están sometidos a carga por fatiga.
4.1. ANÁLISIS POR RESISTENCIA. Un eje de transmisión es un elemento de sección circular cuya función es la de transmitir movimiento y potencia. a transmisión del movimiento se realiza a trav!s de otros elementos tales como engranes, poleas, cadenas, etc. "iseñar un eje consiste básicamente en la determinación del diámetro correcto del eje eje para para aseg asegur urar ar una una rigi rigide dez z y una una resi resist sten enci cia a sati satisf sfac acto tori rias as,, cuan cuando do el eje eje transmite potencia bajo diferentes condiciones de carga. El diseño de un eje debe estudiarse a partir de los siguientes puntos de vista#
1.- Análisis por resistencia. $ %ajo cargas estáticas. $ %ajo cargas dinámicas.
2.- Análisis por rii!e". $ &álculo de deformaciones. $ 'elocidades críticas.
4.1.1. #AJO CAR$AS ESTÁTICAS. EST ÁTICAS. En un eje redondo macizo de diámetro d , que se somete a cargas de fle(ión, a(iales y de torsión se desarrollan los siguientes esfuerzos#
32 M
a) *esfuerzo *esfuerzo por fle(ión fle(ión y carga a(ial). a(ial).
σ x =
b) *esfue *esfuerzo rzo por por tors torsión ión). ).
τ xy =
πd
3
16 T
πd
3
+
4 F
πd
2
+ara ejes uecos# σ x =
c)
32 M d o 4
+
4 F 2
2
π ( d o− d i ) π ( d o− di )
τ xy =
d)
4
16 T d o 4
4
π ( d o − d i )
os esfuerzos principales no nulos son#
σ x
σ 1,2 =
2
±
(√ ) + σ x
2
2
2
τ xy
*-.)
El esfuerzo cortante má(imo es# τ máx =
σ 1− σ 2 2
=
√(
σ x 2
)
2
+ τ xy2
*-./)
El esfuerzo de 'on 0ises *energía de distorsión má(ima) es# '
/
2
2 1 2
2
2
/
1 2
σ =( σ 1 − σ 1 σ 2 + σ 2 ) =( σ x + 3 τ xy)
*-.1)
2ustituyendo las ecuaciones *a) y *b) en *1./) y *1.1) se tiene# τ máx =
'
σ =
2
πd
4
πd
√ ( 8 M + Fd ) + ( 8 T ) 2
3
√ ( 8 M + Fd ) + 48 T 2
3
2
*-.-)
2
*-.3)
2i el análisis o diseño a de ser con base a la teoría del esfuerzo cortante má(imo, τ máx entonces el valor admisible de es# τ máx =
S y 2 ns
*-.4)
"onde# S y =resistencia a la fluenciadel material n s= factor de seguridad
&on base a la teoría de la energía de distorsión se tiene que# σ ' =
S y
*-.5)
ns
En la mayoría de los casos la componente a(ial F es nula, o es tan pequeña que su efecto puede despreciarse. &on F 6 7 las ecuaciones *-.-) y *-.3) se transforman en# τ máx =
16
√ M + T πd 2
*-.8)
16
'
σ =
2
3
πd
3
√ 4 M 2 +3 T 2
*-.9)
2i utilizamos el esfuerzo cortante admisible a partir de la ecuación *-.8) tenemos que# d=
[
32 ns
π S y
( M + T )
2i se conoce 1
ns
=
32 3
]
/
1 3
*-.7)
d entonces#
( M + T ) / 2
π d S y
/
2 1 2
2
2 1 2
*-.)
2i utilizamos la teoría de la energía de distorsión má(ima, entonces# d=
[
16 n s
π S y
2 1/ 2
( 4 M + 3 T ) 2
]
1/ 3
*-./)
2i se conoce 1
ns
=
16
d
entonces
( 4 M + 3 T ) /
2 1 2
2
3
π d S y
*-.1)
4.1.2. #AJO CAR$AS %INÁ&ICAS. En cualquier eje rotatorio cargado por momentos estacionarios de fle(ión y torsión, actuarán esfuerzos por fle(ión completamente invertida debido a la rotación del árbol, pero el esfuerzo torsional permanecerá estable. +or lo tanto se tiene que#
a) *amplitud del esfuerzo atenuante)
b) *esfuerzo de punto medio o estable)
σ xa=
32 M a
πd
τ xym=
3
16 T m
πd
3
"e acuerdo con lo anterior se an desarrollado una serie de teorías para el diseño por fatiga, siendo las más populares# •
:elación elíptica ;20E para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo. *983).
[ √( ) ( ) ]
/
1 3
d=
•
32 ns
K f M a
π
Se
2
+
3
T m
4
S y
2
*-.-)
:elación de ?oodman modificada para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo.
d=
[ ( 32 ns
π
)]
K f M a √ 3 T m + Se 2 Su
/
1 3
*-.3)
En donde S e = K a K b K c K d K e S ' e
"onde#
S e = límite deresistencia ala fatiga corregido paratodoslos efectos excepto
*-.4)
S ' e = #ímite de resistencia a la fatiga de la muestra de $iga rotatoria %
S y = &esistencia de fluenciadel material S u= &esistencia ltimadel material M a= Momento flector atenuante % T m=(alor promediodel momento torsional %
4.2 RESTRICCIONES $EO&'TRICAS. El diseñador tiene libertad para adoptar cualquier configuración geom!trica de ajuste para ejes y agujeros que garantice la función propuesta. 2e a acumulado una e(periencia suficiente con situaciones com@nmente recurrentes para acer normas @tiles. En Estados Unidos e(isten dos normas de límites y ajustes# una se basa en unidades del sistema ingl!s y la otra en unidades del sistema m!trico. as normas difieren en nomenclatura, definiciones y organización. /7 se e(plican de la manera siguiente# A Tamaño básico es el tamaño al cual se asignan límites o desviaciones y es el mismo para ambos elementos del ajuste. A Desviación es la diferencia algebraica entre un tamaño y el tamaño básico correspondiente. A Desviación superior es la diferencia algebraica entre el límite má(imo y el tamaño básico correspondiente.
A Desviación inferior es la diferencia algebraica entre el límite mínimo y el tamaño básico correspondiente. A Desviación fundamental es la desviación superior o inferior, en función de cuál se apro(ime más al tamaño básico. A Tolerancia es la diferencia entre los límites de tamaño má(imo y mínimo de una parte. A Grado de tolerancia internacional es el conjunto de n@meros =B *siglas en ingl!s de la tolerancia internacional) que designan grupos de tolerancia tales que las tolerancias de un n@mero =B en particular tengan el mismo nivel relativo de e(actitud, pero varíen seg@n el tamaño básico. A Agujero base representa un sistema de ajustes correspondientes a un tamaño de agujero básico. a desviación fundamental es C. A Árbol base representa un sistema de ajustes correspondiente a un tamaño de eje básico. a desviación fundamental es . ;quí no se incluye al sistema de eje base.
a magnitud de la zona de tolerancia es la variación de tamaño de la parte y es igual para las dimensiones internas y e(ternas. as zonas de tolerancia se especifican en n@meros de grado de tolerancia internacional, llamados n@meros =B. os n@meros de grado menores especifican una zona de tolerancia menor, y varían de =B 7 a =B4, pero para los ajustes preferentes sólo se necesitan los grados =B4 a =B. En las tablas de la ;> a la ;>1 se presentan los ajustes para tamaños básicos de asta 4 pulg o -77 mm. En la norma se emplean letras de posición de tolerancia, donde las letras may@sculas representan dimensiones internas *agujeros) y las min@sculas denotan
dimensiones e(ternas *ejes). &omo se muestra en la figura 5>/7, la desviación fundamental localiza la zona de tolerancia con relación al tamaño básico.
4.( EJES )*ECOS. a figura muestra un eje circular de sección transversal uniforme cargado en sus e(tremos por los pares de torsión B que lo tuercen alrededor de su eje longitudinal. +uede demostrarse e(perimentalmente que las secciones transversales perpendiculares al eje antes de la aplicación de la carga, permanecen planas y perpendiculares despu!s de las cargas T an sido aplicadas. El diámetro de la barra no cambia y las líneas radiales permanecen rectas y radiales despu!s de la torcedura. a @nica deformación en la barra es la rotación de las secciones transversales entre sí. &omo se muestra en la figura 1., la sección transversal del fondo a girado un ángulo ) con respecto a la de la parte superior. os lados de un elemento sobre la superficie cilíndrica de radio
r1
no cambian de
longitud, pero los ángulos en las esquinas cambian un ángulo
*
respecto a sus
valores originales de 97D. El elemento está sometido así a un cortante puro. 2eg@n r )=l* se aprecia en la figura 1., 1 . a sustitución de la ley de Cooe, * = τ / + , donde ? es e modulo de elasticidad en cortante, da.
τ =
)+r 1 l
*)
)+ y l
&omo
son importantes en la figura 1., el valor del esfuerzo cortante
varía directamente con el radio
r1
.
2i la porción de la barra arriba del elemento del esfuerzo cortante
τ
d,
en la figura 1> se retira, el par
τ , al sumarlo o integrarlo sobre toda la sección transversal,
será igual al par de torsión aplicado T . +or tanto, r
∫
T = τ r 1 d, 0
El lado dereco se multiplica y despu!s se divide entre τ / r 1
razón
r1
. +or la ecuación *), la
es una constante y puede retirarse de la integral. ;sí,
τ 2 τ r 1 d,= r1 r1
r
∫r
2 1
d, =¿
0
τ - r1
r
∫¿
T =
0
En la @ltima forma de la ecuación *b), el símbolo
- , llamado momento polar de
r
inercia, a sido sustituido por la integral
∫r 0
2 1
d, .
El valor má(imo del esfuerzo cortante se presenta en la superficie e(terna, donde r 1= r . +or consiguiente, de la ecuación *b) τ =
Tr 16 T = - π d 3
a similitud de la ecuación */) con la ecuación para el esfuerzo de fle(ión, / σ = Mc / . , debe ser patente. a razón - r se llama módulo de sección del eje. +ara una sección transversal circular sólida, - =
πd
4
32
=
πr 2
2
"ebe notarse que el valor de F para un círculo es dos veces mayor que el d0 correspondiente valor de =. +ara un eje ueco con diámetro e(terior y diametro interior
di
, el valor neto del momento polar de inercia es igual al valor de F para el
círculo e(terior menos la F del círculo interior. +or consiguiente, para un eje ueco. - =
π
π d − d )= ( r −r ) ( 32 2 4 0
4
i
a eliminación de )=
4 0
τ
4
i
entre las ecuaciones *b) y *) da
Tl -+
Esta ecuación puede memorizarse fácilmente cuando se advierte su parecido con la ecuación *-), del capítulo , / = 0l / ,1 , para deformación a(ial. El ángulo
)
debe e(presarse en radianes. :ecuerde que D es igual a
π / 180 rad o bien rad6 35./94D.
4.4 ANÁLISIS POR RI$I%E+.
El problema de la defle(ión en un eje es de suma importancia cuando este efecto es una limitante en el diseño del mismo. +ara determinar la defle(ión de un eje en cualquier punto, podemos utilizar los siguientes criterios# a).> Método de la doble integración. b).> Método del área de momentos. El Gmétodo de la doble integración” recomendado para ejes de sección uniforme, se basa principalmente en determinar la ecuación de la curva elástica, a partir de la ecuación de momentos.
1. y = M ( x ) ' '
*)
:esolviendo la ecuación *) y aplicando las condiciones iniciales, se obtiene una ecuación de la forma y =
1
F ( x ) 1.
*/)
; partir de la ecuación */), se obtienen las defle(iones en los puntos deseados. El Gmétodo del área de momentos” recomendado para ejes de sección variable, está fundamentado en dos teoremas básicos# El primer teorema dice# El ángulo de las tangentes ; y % es igual al área del diagrama de momentos flectores entre esos dos puntos divididos por el producto ! . *'er figura -.).
2=
1
3
∫ Mdx
1. ,
*1)
El segundo teorema dice# a distancia vertical entre el punto % de la elástica y la tangente trazada a la curva por ; es igual al momento respecto a la vertical por % del área del diagrama de momentos flectores entre ; y % divididas por ! . *'er figura -.). 1
3
∫
4= Mxdx 1. ,
*-)
4., ELOCI%A% CRTICA. &uando un eje gira, la e(centricidad ocasiona una defle(ión debida a la fuerza centrífuga que se resiste por la rigidez a fle(ión del eje !. 2iempre y cuando las defle(iones sean pequeñas, no se ocasiona ning@n daño. 2in embargo, otro
problema potencial se llama velocidades críticas/ a ciertas velocidades el eje es inestable, y las defle(iones se incrementan sin un límite superior. +or fortuna, aunque la forma de la defle(ión dinámica se desconoce, mediante una curva de defle(ión estática se obtiene una estimación e(celente de la velocidad crítica. Esa curva cumple con la condición de frontera de la ecuación diferencial *momento y defle(ión cero en ambos cojinetes) y la energía del eje no es en particular sensible a la anatomía de la curva de defle(ión. El eje, debido a su propia masa, tiene una velocidad crítica. "e igual forma, el ensamble de elementos a un eje tiene una velocidad crítica que es muco menor que la velocidad crítica intrínseca del eje. a estimación de estas velocidades críticas *y sus armónicas) es una tarea del diseñador.
( )√ ( )√
π 51 = l
2
1. π = m l
2
g1. ,*
"onde m es la masa por unidad de longitud, " el área de la sección transversal y # el peso específico. En el caso de un ensamble de elementos, el m!todo de :ayleig para masas concentradas establece# 51 =
√
"onde
∑ 5 y ∑ 5 y
g
i
i
2
i
5i
i
es el peso de la i >!sima ubicación y yi es la defle(ión en la ubicación
del i >!simo cuerpo. +ara contrarrestar la complejidad mayor del detalle, se adopta un punto de vista @til. +uesto que el eje es un cuerpo elástico, se utilizan coeficientes de influencia, que son las defle(iones transversales en la ubicación i de un eje, debida a una carga unitaria en la ubicación j del eje. "e la tabla ;>9>4 se obtiene, para una viga simplemente apoyada con una sola carga unitaria, como la que se muestra en la figura 5>1,
+ara tres cargas los coeficientes de influencia se presentarían como#
El teorema de reciprocidad de 0a(Hell establece que ay una simetría respecto de / 11 / 22 y / 33 la diagonal principal compuesta por , de la forma / i6= / 6i
. Esta relación reduce el trabajo de encontrar los coeficientes de
influencia. ; partir de los coeficientes de influencia anteriores, se pueden determinar y 1 y 2 y y 3 las defle(iones , para lo cual se emplea la ecuación *5>/1) de la manera siguiente# y 1= F 1 / 11 + F 2 / 12+ F 3 / 13 y 2= F 1 / 21+ F 2 / 22+ F 3 / 23 y 3= F 1 / 31 + F 2 / 32+ F 3 / 33
as fuerzas Fi pueden surgir del peso sujeto 2
5i
o de las fuerzas centrífugas
mi 5 yi . El conjunto de ecuaciones *5>/3), escrito con las fuerzas de inercia, se
representa como 2
2
2
2
2
2
2
2
2
y 1=m1 5 y 1 / 11+ m2 5 y 2 / 12 + m 3 5 y3 / 13 y 2=m1 5 y1 / 21+ m2 5 y 2 / 22+ m3 5 y 3 / 23 y 3=m1 5 y 1 / 31+ m 2 5 y 2 / 32+ m3 5 y 3 / 33
Iue pueden reescribirse como 2
5 m1 / 11−1 /¿ y 1 + ( m 2 / 12 ) y 2+¿ ( m3 / 13) y 3 =0
¿
5
2
m2 / 22−1 /¿ y 2+ ( m3 / 23 ) y 3 =0
(m
1
/ 21) y 1 +¿ 2
5
m3 / 33−1 /¿ y 3=0 ( m1 / 31 ) y 1 + ( m2 / 32 ) y 2+¿
Esta idea puede ampliarse a un eje con n cuerpos#
1 2
51
n
≐
1 ∑ = 5
2
1
1
ii
Esta e(presión se llama ecuación de $un%erley . 2i se desprecia el t!rmino o los t!rminos de modo superior, la estimación de la primera velocidad crítica es menor de lo que en realidad sucede. &omo en la ecuación anterior no aparecen cargas, se deduce que si cada carga se pudiera colocar en una ubicación convenientemente transformada en una carga equivalente, entonces la velocidad crítica de una serie de cargas se podría determinar sumando las cargas equivalentes, todas colocadas en una sola ubicación conveniente. +ara la carga de la estación , colocada en el centro del claro y denotada con el subíndice c , la carga equivalente se determina mediante# 2
511=
g g = 51 / 11 5 1 c / cc
4.0 &ATERIALES PARA EJES. a defle(ión no se ve afectada por la resistencia sino por la rigidez, representada por el módulo de elasticidad, que es esencialmente constante en todos los aceros. +or esa razón, la rigidez no puede controlarse mediante decisiones sobre el material, sino sólo por decisiones geom!tricas. a resistencia necesaria para soportar esfuerzos de carga afecta la elección de los materiales y sus tratamientos. 0ucos ejes están ecos de acero de bajo carbono,
acero estirado en frío o acero laminado en caliente, como lo son los aceros ;<2= 7/7>737. ; menudo no está garantizado el incremento significativo de la resistencia proveniente del tratamiento t!rmico ni el contenido de alta aleación. a falla por fatiga se reduce moderadamente mediante el incremento de la resistencia, y despu!s sólo a cierto nivel antes de que los efectos adversos en el límite de resistencia a la fatiga y la sensibilidad a la muesca comience a contrarrestar los beneficios de una resistencia mayor. Una buena práctica consiste en iniciar con un acero de bajo o medio carbono de bajo costo, como primer paso en los cálculos del diseño. 2i las consideraciones de resistencia resultan dominar sobre las de defle(ión, entonces debe probarse un material con mayor resistencia, lo que permite que los tamaños del eje se reduzcan asta que el e(ceso de defle(ión adquiera importancia. El costo del material y su procesamiento debe ponderarse en relación con la necesidad de contar con diámetros de eje más pequeños. &uando están garantizadas, las aleaciones de acero típicas para tratamiento t!rmico incluyen ;<2= 1-7>37, 1-7>37, --7, -1-7, 3-7 y 8437. +or lo general, los ejes no requieren endurecimiento superficial a menos que sirvan como un recubrimiento real en una superficie de contacto. as elecciones típicas para el material para el endurecimiento superficial incluyen los grados de carburización ;<2= 7/7, -1-7, -8/7 y 84/7. +or lo general, el acero estirado en frío se usa para diámetros menores de 1 pulgadas. El diámetro nominal de la barra puede dejarse sin maquinar en áreas que no requieren el ajuste de los componentes. El acero laminado en caliente debe maquinarse por completo. En el caso de ejes grandes que requieren la remoción de muco material, los esfuerzos residuales pueden tender a causar alabeo. 2i la concentricidad es importante, puede ser necesario maquinar las rugosidades, despu!s tratar t!rmicamente para remover los esfuerzos residuales e incrementar la resistencia, luego maquinar para el terminado y llegar a las dimensiones finales. &uando se debe seleccionar el material, la cantidad que se producirá es un factor sobresaliente. +ara pequeñas producciones, el torneado es el proceso de formado más com@n. Un punto de vista económico puede requerir la eliminación de una cantidad mínima de material.a alta producción puede permitir un m!todo de conformado conservador de volumen *formado en caliente o en frío, fundición) y un mínimo de material en el eje puede convertirse en una meta de diseño. 2e puede especificar el ierro fundido si la cantidad de producción es alta, y los engranes deberán fundirse de manera integral con el eje. as propiedades del eje dependen localmente de su istoria# trabajo en frío, formado en frío, laminado de los rasgos del filete, tratamiento t!rmico, incluyendo el medio de temple, agitación y r!gimen de templado.
El acero ino(idable puede resultar apropiado para algunos entornos.
4. LEC)AS LE3I#LES. 4. CI$5E6ALES. +ara determinar los esfuerzos en un cigJeñal, debe determinarse la carga en cada una de las diversas partes de !ste. Un ejemplo típico se muestra en la figura 1>4*a), que ilustra una compresora de aire impulsada por banda y de un solo cilindro. 2uponga que se conocen las dimensiones de la máquina y que se desea encontrar los esfuerzos en el brazo &" del cigJeñal. &on el diámetro interior del cilindro y la presión de aire, la fuerza sobre el pistón puede determinarse. "ibujando un triangulo de fuerzas puede determinarse la fuerza en la biela. Esta fuerza tambi!n act@a sobre el pasador ;. &omo se muestra en la figura 1>4*b), esta fuerza se divide en las componentes tangencial y normal al plano de la manivela. as fuerzas en los lados tensos y flojos de la banda se determinan aora a partir del par y la suma se divide en componentes en las direcciones coordenadas, como se muestra en la figura 1> 4*c).
El diagrama de cuerpo libre para la manivela debe aora dibujarse como se muestra en la figura 1>4*d), usando las fuerzas en la biela y en la banda y con las reacciones de apoyo determinadas por estática. Es costumbre suponer que toda la carga de apoyo act@a en el centro del cojinete. a manivela puede aora cortarse, y las fuerzas y momentos de cada porción puede determinarse de manera usual. a
figura 1>4*e) muestra el brazo despu!s de cortado en el punto medio entre & y " con varias fuerzas y momentos que act@an sobre la superficie cortada.
