Valores Y Vectores Propios Diagonalizacion

Transcript

VALORES Y VECTORES PROPIOS En los diversos campos de la ingeniería y las matemáticas srge el pro!lema de calclar los valores escalares  λ  y los vectores  x ≠ 0  tales "e para la matri# cadrada  A  se cmple  AX = λX … (1 ) Algnos campos de aplicaci$n aplicaci$n son% Las Ecaciones di&erenciales' Esta!ilidad de sistemas lineales' Sistemas el(ctricos' Polos y ceros de trans&erencia' diagonali#acion de matrices' etc) Podemos averigar si el pro!lema planteado en *+, tiene solci$n si tenemos ( A − λI ) X =0 … (2 ) ' el pro! pro!le lema ma se tran trans& s&or orma ma en n sist sistem emaa line lineal al -omo -omog( g(ne neo o det ( B ) ≠ 0 BX =0 ' el cal tiene ene sol solci$ ci$n para  X =0 ' can cando do  ' es .stamente lo "e no nos interesa )El nmero  λ  se dice "e es el valor propio de la matri# cadrada  A  si y solo si det ( A − λI )=0 /*0, esta es la ecaci$n característica de la matri#  A  )El polinomio "e srge de la ecaci$n *0, reslta n polinomio en ponencias de  λ ' la e1presi$n a ( λ ) =det ( A − λI )  se le llama polinomio característico de la matri#  A  )El polinomio polinomio característi característico co de na matri# de dimensi$n dimensi$n nxn   es de grado n  ' por lo "e se tiene n  valores propios  λ  "e satis&acen la ecaci$n *0, ) VALOR PROPIO Sea T : V →V  un opera operado dorr linea lineall sobre sobre un espac espacio io vect vector oria iall  K   se llama valor propio de sobre un cuerpo  K .  Un escalar  λ ϵ  K  si existe un vector diferente de cero, V  T  v ϵ  V  V tal tal que que T ( v ) = λv . Todo vector que satisface esta relación se llama “vector propio” de T perteneciente al valor propio  λ . Observación: Las transformaciones lineales del espacio como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento o cualquier combinación de las anteriores pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores !e forma "eom#trica los vectores se visuali$an como flechas de cierta lon"itud apuntado en una dirección % sentido determinado Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación E.emplo% Sea V  λ  λ un valor propio de un operador el con&unto de todos los vectores propios de T : V →V   Sea T   pertenecientes al valor propio  λ  'llamado el espacio propio de  λ  ( !emostrar que V  λ es un subespacio de V   !emostración v , w ∈V  λ Sean escalar ) es decir T ( v )= λv ,T  ( w )= λw  *ntonces para todo a , b ∈ K  , T ( av + bw )=aT  ( v ) + bT  ( w )= a ( λv ) + b ( λw )= λ ( av + bw ) av + bw  es un vector propio perteneciente a  λ  es decir , lue"o V  λ es un subespacio de V   TEORE2A un operador lineal sobre un espacio vectorial V  , entonces  λ ϵ K  es un valor propio de T  si % solo si  λ Ι −T  es sin"ular, el espacio propio de  λ es entonces el n+cleo de  λ Ι −T . Sea T : V →V  TEORE2A ectores propios diferentes de cero pertenecientes a valores propios diferentes son linealmente independientes POLI3O2IO CARACTERISTICO Sea na matri# cadrada A so!re n cerpo 4  A = ( a11 a21 a12 a22 … … a1 n a2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n1 an 2 … a nn La matri# ) t Ι n− A det ( t Ι n − A ) =0 se llama matri# característica' el determinante se llama ecaci$n característica' el polinomio característico es de la &orma%  Δ ( t )=( t − a11) ( t −a 22) … ( t −a nn ) ,n términ!"n m#xim n − 2 $a"tre! dela $rmat −an E.emplo Sea la matri$  A = ( ) 1 2 4 3 i( -allar los valores propios de . % los correspondientes vectores propios −1 /i( -allar una matri$ inversible  %  tal que  %  A%  sea dia"onal Solución: *&emplo:  A = ( 1 −2 4 *l polinomio caracter0stico de la matri$ . es: 3 2 0 0 1 −2 ) | t −1  Δ ( t )=( t Ι − A )= 2 −4 | −3 0 3 2 t −2 −1 =t  −t  + 2 t + 4 t + 2 0 *s un polinomio caracter0stico, polinomio 1ónico de tercer "rado *l polinomio caracter0stico de una matri$ de dimensión nxn   es de "rado n , por lo cual tendr2 n  posibles valores propios Si  λ  es un valor propio de  A  % si 3 es el vector no nulo tal que  AX = λX & X  se dice vector propio de  A   correspondiente al valor  propio de  λ  O4S*5.67O8: λ tambi#n llamado autovalor, valor caracter0stico o “ei"en valor” E.emplo !ada la matri$  A = ( 3 2 2 −1 −1 1 2 2 0 ) determine el polinomio caracter0stico % los valores propios de  A Solución |( ) ( )| | 3  % ( λ )= det  2 2 1 2 2 −1 −1 − λ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 − λ = 2 2 | −1 2− λ −1 =( 2− λ ) ( 2− λ ) ( 1− λ ) =0 *nton 2 − λ 1 ces los valores propios son  λ =2 , λ =2 , λ=1 POLI3O2IO 5E 2ATRICES Y OPERA5ORES LI3EALES n −1 $  ( t )= a n t  + an− 1 t  n Sea un polinomio + … + a1 t + a 0   , si . es una matri$ cuadrada, entonces definimos: $  (  A ) =an A + a n−1  A n n− 1 + … + a1 A + a0 Ι  Se dice que . es una ra0$ o un cero del polinomio si $  (  A ) =0. TEORE2A Sean $ ' ( dos polinomios sobre un cuerpo ) , % sea . una matri$ cuadrada de orden n  , sobre )  , entonces: i) ($  + ( )( A) =$  ( A )+ ( ( A ) ii) ( $ . ( )( A )= $  ( A ) . ( ( A ) iii) ( )$  )( A )= )$  ( A ) O6SERVACIO3 9 Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación / *l valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado  Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, adem2s del vector nulo que no es un vector propio ; La multiplicidad "eom#trica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado E.emplo% -allar los vectores propios de la matri$ SOLU67O8:  AX = λX  ( A − λ Ι ) X = 0 (− 1  λ 3 2 2 − λ )  X =0 -allando los valores propios: |− 1  λ 3 2 |= 2 − λ 0 2  λ − 3 λ − 4 =0  λ1=−1 , λ2= 4 u# es dia"onali$ar? *s determinar un sistema de referencia conveniente donde se ten"a una simplicidad para los c2lculos