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VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA AMORTIGUADA CASO GENERAL LINEAL
Aplicamos la ecuación del movimiento (2° ley de Newton) F(t) – FK – FA = m FK es proporcional al desplazamiento. - - kx FA en función a la velocidad - c m + c + kx = F(t)
+ 2δ + ω
2x 0
= . F(t)
δ = coeficiente de atenuación δ = ω0 = ωn= frecuencia natural ω0 =
Si δ = 0
OSCILACION FORZADA SIN ΩAMORTIGUAMIENTO.
F(t) = F0.
Ω: frecuencia de la fuerza excitadora
F0 = amplitud de la fuerza
+ ω
2 0 x
= .F0.Ω ……. (*)
La solución general es:
X(t) = Xhomogenea + Xparticular X(t) = Xc(t) + Xp(t)
Siendo Xc(t) = A.Sen(ω0t+ф) complementaria
Solución
La solución complementaria Xc define la vibración libre, lo cual depende de la frecuencia natural (ω0= ωn) y las constantes A y ф.
Si δ = 0
OSCILACION FORZADA SIN ΩAMORTIGUAMIENTO.
F(t) = F0.
Ω: frecuencia de la fuerza excitadora
F0 = amplitud de la fuerza
+ ω
2 0 x
= .F0.Ω ……. (*)
La solución general es:
X(t) = Xhomogenea + Xparticular X(t) = Xc(t) + Xp(t)
Siendo Xc(t) = A.Sen(ω0t+ф) complementaria
Solución
La solución complementaria Xc define la vibración libre, lo cual depende de la frecuencia natural (ω0= ωn) y las constantes A y ф.
Para Para la solución particular o permanente nuestra modelo de solución es: Xp(t) = V
Ω
V: amplitud de la vibración forzada Ω: frecuencia de la fuerza excitadora
x (t) = - V.Ω.SenΩt (t) = - V.Ω .CosΩt P
2
P
Ω) VcosΩ = .F .cosΩ
Reemplazamos en (*) - V.Ω2.CosΩt + ω02 (ω02 - Ω2).V =
V= .
−
.F 0
( + ω02x =.F0. 0
V = . −Ω
. −
Ω
donde: ɳ =u = r= ω
0
K = m ω02
Ω La solución particular X describe la vibración forzada del bloque y provocada por la fuerza aplicada aplicada F= F .cosΩ . Por lo tanto
Xp =
p
0
Como todos los sistemas vibratorios vibratorios se someten a fricción, la vibración libre, X c, se amortiguara en el paso del tiempo, por eso se le conoce como transitoria y la vibración forzada forzada XP se conoce como estado continúo, puesto que es la única vibración que permanece. La solución general es, por consiguiente, la suma de dos funciones de frecuencias diferentes. diferentes.
X= xc+xp= A.Sen(ω0t+ф) + V
Ω
FACTOR DE AMPLIFICACION MF Se define como la relación relación de la amplitud de la vibración vibración de estado estado continuo V, a la deflexión estática F 0/K, producida por la amplitud de la fuerza f uerza periódica F0, entonces:
Xest=
deflexión
estática
De la ecuación de la amplitud V = . = −
−
y de la definición de MF.
MF =
En la figura se observa, que si la fuerza o desplazamiento se aplica con una frecuencia natural del sistema, es decir ɳ≈ 1, la amplitud de vibración del bloque llega a ser extremadamente grande. Esto ocurre porque la fuerza F se aplica al bloque de modo que siempre siga el movimiento movimiento de este. Esta condición se llama resonancia; en la práctica, las vibraciones vibraciones resonantes resonantes pueden dar lugar a esfuerzos esfuerzos tremendos y a la rápida falla de las
Aplicación Fisica de la VFA El compactador de suelo opera por vibración forzada desarrollada por un motor interno. Es importante que la frecuencia forzada no se aproxime a la frecuencia natural de vibración del compactador, la cual puede determinarse cuando se apaga el motor, de lo contrario habrá resonancia y la maquina se volverá incontrolable.
Vibración forzada con amortiguamiento viscoso
Demostracion de las ecuaciones que gobiernan este movimiento
Para determinar la ecuación que gobierna este movimiento, consideremos el siguiente sistema masa-resorte con un amortiguador y una fuerza armónica externa.
Luego realizando el D.C.L. del bloque se tiene:
Aplicando entonces la segunda Ley de Newton se tiene:
Como la función de la fuerza aplicada es armónica, el movimiento del estado permanente también es armónico.
Luego reemplazando en la ecuación diferencial (I)
Vibraciones Forzadas Amortiguadas 2) Cuando δ >0 :
Maquinas desbalanceadas: F(t)=Fo.Sen(Ωt) ó F(t)=Fo.Cos(Ωt)
Fo :Amplitud de la excitación armónica Ω: Frecuencia de la fuerza excitadora
De el grafico obtenemos la siguiente ecuación diferencial:
= .()
2δ = .() ….. (1) Trabajando con números complejos :
Z = X + iY
= ∅ = ∝ =cos∝sin∝
Después:
Dando forma
2δ = .()
…….(2)
Sumando 1 y 2:
2δ = .(
) 2δ = .
Considerando como solución: Derivando :
=
= . =.
Reemplazando en la ecuación anterior:
2δ. = . 2δ. . =
1 = . 2δ.
2δ) 1 ( = . 2δ. . ( 2δ) = . 2δ 4δ = . 2δ 4δ 4δ
Luego
1 = = . 4δ
: Frecuencia natural. = : Frecuencia del sistema ó de la fuerza excitadora. 2δ − − = = t a n =tan = ∝ = (+∝) = [ ∝ ∝ ]
Luego :
= . ∝
ó
= . ∝
V: Amplitud de vibración Haciendo que V dependa de un parámetro n y siendo:
=
y
δ=
δ
n = u :razón de frecuencias Reemplazando en la ecuación de la amplitud V :
1 1 = . 1 2 Pero como = . 1 (,)= 1 2
RESONANCIA La resonancia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza de excitación es igual a la frecuencia natural del sistema, cuando esto ocurre, la amplitud de la vibración aumentara indefinidamente y estará gobernada únicamente por la cantidad de amortiguamiento presente en el sistema. Por tanto la frecuencia natural del sistema debe conocerse y escogerse con cuidado, con el fin de evitar los efectos desastrosos producidos por una amplitud muy grande de vibración (en una estructura mecánica por ejemplo)
En
una vibración forzada armónica; cuando la frecuencia de la fuerza se hace igual a la frecuencia natural, se dice que hay resonancia en la amplitud. Cuando menor sea el amortiguamiento más pronunciada será la resonancia (la amplitud de vibración será mayor), y si fuera cero, entonces la amplitud de resonancia se hace infinita. Un efecto como el mencionado antes es perjudicial en mecánica, inclusive puede colapsar una maquina o estructura. La velocidad del oscilador forzado también se hace máxima cuando la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natura, a esta frecuencia la velocidad y la energía cinética de las oscilaciones son máximas, luego: podemos hablar de resonancia en la energía cuando la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natural y la velocidad se encuentre en fase con la fuerza aplicada, para que el producto F.v que es la variación del trabajo con el tiempo siempre sea positiva y máxima.
Cómo los terremotos afectan a los edificios •
•
Cuando el contenido de frecuencia del movimiento del suelo se centran alrededor de la frecuencia natural del edificio, se dice que el edificio y el movimiento de la tierra están en resonancia con otros. La resonancia tiende a aumentar o amplificar la respuesta del edificio. Debido a esto, los edificios sufren el mayor daño del movimiento del suelo en una frecuencia cercana o igual a su frecuencia natural
El terremoto de Ciudad de México del 19 de septiembre de 1985 prevé una notable ilustración de esto. La mayoría de los muchos edificios que se derrumbaron durante el terremoto fueron alrededor de 20 pisos de altura es decir, tenían un período natural de alrededor de 2,0 segundos. Estos edificios de 20 plantas, se encontraban en resonancia con el contenido de frecuencias del terremoto de 1985. Otros edificios de diferentes alturas y con las características de vibración diferentes, a menudo se encuentran en buen estado a pesar de que se encuentra justo al lado de la historia de 20 edificios dañados
TEORIA DE AISLAMIENTO DE MOTORES •
Cuando un motor está colocado sobre la base transmite a dicha base una fuerza alternativa que provocan desequilibrios internos al motor o de excitaciones externas transmitidas por otros sistemas
= 0 cos()
•
M
2
2 •
B
Se idealiza el problema suponiendo una base fija y rígida B, sobre la cual descansa el motor de masa M, sostenidos por un sistema de resortes con amortiguación la masa M del motor se considera sometida a la excitación exterior de una fuerza sinusoidal
= 0 ×cos()
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La ecuación del movimiento está dado por:
=0 cos() =
La respuesta permanente del sistema es:
=cos()
Luego se puede calcular la fuerza transmitida a la base B,
==cos() = = ...sincos( ) : : La fuerza total transmitida a la base B es (F ) =cos()...sincos() T
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Haciendo que
tan= w
+(.) . +(.) / . − +( )
cos= sin= =
Índice de amortiguamiento: = Relación de frecuencias: = = − . = − + . cos()
− . Fuerza transmitida máxima = − + .
DESBALANCE ROTATORIO
0
m
M
C
k/2
k/2
El desbalance en máquinas rotatorias es una fuente común de excitación vibratoria. Consideremos un sistema masa-resorte-amortiguador restringido a moverse en la dirección vertical y excitado por una maquina rotatoria no balanceada, como muestra la figura. El desbalance está representado por una masa excéntrica m con excentricidad e que rota con velocidad angular w . Si x representa el desplazamiento de la masa no rotante (M.m), desde la posición de equilibrio, la aceleración de m es:
=. = m
e
m.g
= = cos()
La aceleración vertical que actúa sobre m es:
cos
•
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•
la fuerza vertical que actúa sobre m es:
= cos()
La ecuación diferencial del movimiento del motor es:
= cos()
Finalmente:
=...cos = cos() El movimiento es del tipo: = cos()
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Donde es la amplitud de la excitación externa equivalente que hace oscilar el motor Una diferencia importante ha de observarse con respecto al caso no es constante, sino que depende de estudiado, y es que w, En otras palabras la excitación crece con la velocidad angular del motor. Sabemos que:
=..
= =
− + − + . − +
=
Dónde:
= / ; = Entonces:
. = ^ . − +
•
Representación grafica
. .
vs n
El ventilador tiene una masa de 25 kg y se fija al extremo de una viga horizontal que tiene una masa despreciable. La base del ventilador está montado excéntricamente sobre el eje de tal manera que es equivalente a un desequilibrio 3.5 kg de masa situado a 100 mm desde el eje de rotación. Si la deflexión estática de la viga es 50 mm, como resultado del peso del ventilador, determinar la amplitud de la vibración de estado estable del ventilador si la velocidad angular de las paletas del ventilador es 10 rad / s.
Un bloque de 7 lbs esta suspendido de dos resortes de k = 37.5 Lbs/pie. El soporte al cual estan conectados los resortes se le imprime un movimiento armonico, el cual puede ser expresado por δ = 0.15Sen2t (pies). Si el factor de amortiguamiento ζ = 0.8. Determine el angulo de fase ɸ de la
vibracion forzada. Asimismo determine la magnificacion
La barra uniforme tiene una masa de m. Si se recibe la acción de una fuerza periódica de F = Fo.Senωt. Determinar la amplitud de la vibración en estado estable.
Considerando valores pequenos de θ: Senθ = θ y Cosθ = 1
La solucion permanente es:
Si el bloque 30 kg se somete a una fuerza periódica P = (300Sen5t) N, k = 1500 N / m, y c = 300 N · s / m. Determinar la ecuación que describe la vibración de estado estable como una función del tiempo.
Y = 01109 m
El motor eléctrico 30-kg se muestra en la figura. está soportada por cuatro resortes, cada resorte tiene una rigidez de 200 N / m. Si el rotor está desequilibrado de tal manera que su efecto es equivalente a una masa de 4 kg situado 60 mm desde el eje de rotación, determinar la amplitud de la vibración cuando el rotor está girando a ωo = 10 rad / s. El factor de amortiguamiento es c / cc = 0,15.
El bloque de 30 libras está unido a dos muelles con una rigidez de 10 lb / ft. Se aplica al bloque una fuerza periódica F = (8 Cos3t) libras, donde t está en segundos. Determinar la velocidad máxima del bloque despreciando la fuerza de fricción.
El bloque de 10 kg está unido a dos muelles con una rigidez de 400 N/m, c = 125 N.s/m. Se aplica al bloque una fuerza periódica F = 150Cos6t (N) , donde t está en segundos. Determine la ecuación que describe el movimiento en estado permanente.
X = 0.172Cos(6t – 59.6°)
