Wykład 6

Transcript

Wykład 6 Gęstość stanów elektronowych w niskowymiarowych strukturach Oprócz widma energetycznego układu elektronów, ważną charakterystyką systemy jest gęstość stanów energetycznych Funkcja gęstości stanów elektronowych g (E ). pomnożona przez interwał dE , czyli g ( E )dE równa się liczbie stanów elektronowych o energiach leżących w przedziale ( E , E  dE ). Funkcja gęstości stanów układów trójwymiarowych Przypomnijmy najpierw, jaką postać ma funkcja gęstości stanów dla struktur trójwymiarowych. Oznaczmy przez EC energię elektronu odpowiadającą dnu pasma przewodnictwa. Oczywiście to jest minimalna energia, którą ma elektron. Energię elektronów wyżej dna pasma przewodnictwa określa wzór E  EC  p2 . 2m (6.1) Tu p - wartość bezwzględna pędu elektronu, a m - masa efektywna elektronu. W celu wyznaczenia funkcji gęstości stanów g (E ) rozważmy warstwę kulistą o  grubości dE , która jest ograniczona dwoma powierzchniami o stałej energii: E ( p )  const i  E ( p )  dE  const (rys.6.1). Objętość takiej warstwy wynosi dVp  d (4πp3 / 3)  4πp2dp . (6.2) Zgodnie z podstawami fizyki ciała stałego, liczba stanów elektronowych w elemencie Rys.6.1. Rzut obszaru warstwy sferycznej o grubości dE na płaszczyznę p x , p y dn  2 objętości dV p w krysztale o jednostkowej objętości, wynosi dVp h 3 Ze wzoru (6.1) wynika, że 56  8π 2 p dp . h3 (6.3) p  2m E  EC  . (6.4) Skąd 1 2m dp  dE . 2 E  EC (6.5) Biorąc pod uwagę wzory (6.4) i (6.5), ze wzoru (6.3) otrzymujemy g ( E )dE  dn  Rys.6.2. Zależności gęstości stanów elektronowych od energii w przypadku trójwymiarowego układu  2m   4π  2   h  8π 2 p dp  h3 3/ 2 . (6.6) E  EC  dE Dalej dla uproszczenia zapisu będziemy zakładać, że energia elektronu jest liczona od dna pasma przewodnictwa ( EC  0 ). A zatem dla funkcji gęstości stanów elektronowych ostatecznie znajdujemy  2m  dn g(E )   4π  2  dE  h  3/ 2 1  2m  E  2  2  2π    3/ 2 E . (6.7) Otrzymaliśmy, więc wzór na funkcję g (E ) , która określa jak są rozłożone wzdłuż osi energii stany, które mogą być obsadzony przez elektrony w przypadku układu trójwymiarowego. Funkcja gęstości stanów układów dwuwymiarowych W przypadku układu dwuwymiarowego (cienkiej błony o grubości Lz ) energia ruchu elektronu jest skwantowaną w kierunku z prostopadłym do płaszczyzny xy , w której ruch elektronu jest swobodny, a całkowitą energię układu określa wzór p 2y p x2 p2 E  En    E  . n 2m 2m 2m (6.8) Tu En są poziomy energetyczne ruchu elektronu wzdłuż osi z , a p2  px2  p 2y - pęd elektronu w płaszczyźnie układu dwuwymiarowego. Ze wzoru (6.8) wynika, że minimalna energia, którą mogą mieć elektrony wynosi E  E1 . A zatem, gdy E  E1 gęstość stanów elektronowych musi być równa zeru ( g ( E )  0 , gdy E  E1 ). Rozważmy zakres zmiany energii elektronu E1  E  E2 . Takie energii mogą mieć tylko elektrony podpasma pierwszego poziomu E1 , których pęd spełnia nierówność: 57 p  2m ( E  E2 ) . W celu wyznaczenia funkcji gęstości stanów g (E ) rozważmy pierścień kołowy o grubości dE , która jest ograniczona dwoma powierzchniami o stałej energii:   E ( p )  const i E ( p )  dE  const (rys.6.1). Pole powierzchni takiego pierścienia wynosi dS p  d (πp 2 )  2πpdp . (6.9) W płaszczyźnie ( p x , p y ) na jeden stan elektronowy przypada pole powierzchni ds  h 2 /( Lx Ly ) , gdzie L x i L y - rozmiary błony w płaszczyźnie ( x, y ), a zatem liczba stanów elektronowych w pierścieniu o polu powierzchni (6.9), przypadająca na jednostkową objętość błony wynosi dn  2 dS p V  ds  4π 4πm  p 2  m   pdp  d  dE . Lz h 2 Lz h 2  2m  Lz π2 (6.10) gdzie V  Lx Ly LZ - objętość błony. Mnożnik 2 w (6.10) uwzględnia dwie możliwe orientacje spinu elektronu. Ze wzoru (6.10) wynika, że w przypadku układu dwuwymiarowego funkcja gęstości stanów elektronowych g (E ) ma postać g(E )  dn m  dE Lz π 2 E1  E  E2  . (6.11) Przy energiach elektronów większych od E2 , elektrony mogą znajdować się nie tylko w pierwszym podpasmie, ale również w podpasmach wyższych. Każde podpasmo będzie dawało dodatkowy wkład w funkcję gęstości stanów g (E ) . Wkład ten będzie określony wzorem (6.11). A zatem, kiedy energia elektronu E będzie przekraczała dno En podpasma, funkcja gęstości stanów elektronowych g (E ) będzie skokowo zmieniała się o m / Lz π 2 (rys.6.3). Używając funkcji skoku jednostkowego (funkcji Heaviside’a) 0, dla 1, dla  (x )   x  0, x  0, (6.12) funkcję gęstości stanów g (E ) w układzie dwuwymiarowym możemy zapisać dla dowolnej energii E w postaci g(E )  m  E  En  . Lz π 2 n 58 (6.13) g ( E ) / m / Lz π2  Ponieważ En ~ Lz2 (patrz wzór (1.2)), gdzie Lz - grubość błony, to przy zwiększeniu grubości Lz struktury szerokość „stopni” En 1  En  ~ 1/ L2z będzie zmniejszać się i w granice Lz   funkcja gęstości stanów Rys.6.3. Rozkłady gęstości stanów w układzie (6.13) przyjmie kształt funkcji trójwymiarowym (przerywana linia) i stanów struktury trójwymiarowej. dwuwymiarowym (funkcja schodkowa) gęstości Funkcje gęstości stanów układów jedno- i zerowymiarowych W przypadku układu jednowymiarowego (drutu kwantowego) energia ruchu elektronu jest skwantowaną w dwóch kierunkach z i y prostopadłym do kierunku x , w którym ruch elektronu jest swobodny, a całkowitą energię układu określa wzór E  En1n 2 p x2  , 2m n1 , n2  1,2, . (6.14) Tu En1n 2   2π 2 n12  2π 2 n22  2m L2y 2m L2z (6.15) - energia skwantowanego ruchu elektronu w kierunku osi z i y ; Ly , Lz - są szerokości barier potencjalnych ograniczających ruch elektronu w kierunku osi y i z . Ze wzoru (6.14) wynika, że minimalna energia, którą mogą mieć elektrony wynosi E  E11 . A zatem, gdy E  E11 gęstość stanów elektronowych musi być równa zeru ( g ( E )  0 , gdy E  E11 ). Rozważmy zakres zmiany energii elektronu od E11 do kolejnego po energii poziomu kwantowego En1n 2 . Takie energii mogą mieć tylko elektrony podpasma pierwszego poziomu E11 , których pęd spełnia nierówność:  2m ( E  E11 )  p x  2m ( E  E11 ) . W celu wyznaczenia funkcji gęstości stanów g (E ) rozważmy na zależności E ( p x ) interwał energii dE (rys.6.4a). Jak widać z rys.6.4a interwałowi dE odpowiadają dwa odcinka (z lewej i prawej strony) o długości dp x . W przypadku układu jednowymiarowego, na osi p x na jeden stan elektronowy przypada odcinek o długości dlx  h / Lx , gdzie L x - rozmiary drutu w kierunku osi x , a 59 zatem liczba stanów elektronowych na dwóch odcinkach drutu o długości dp x , przypadająca na jednostkową objętość drutu wynosi dn  2 2dpx 4 2m  dpx  V  dlx Ly Lz h πLy Lz 1 dE . E  E11 (6.16) gdzie V  Lx Ly LZ - objętość drutu. Mnożnik 2 w (6.16) uwzględnia dwie możliwe orientacje spinu elektronu. Ze wzoru (6.16) wynika, że w przypadku układu jednowymiarowego funkcja gęstości stanów elektronowych g (E ) ma postać g(E )  dn 2m  dE πLy Lz 1 E  E11 a E1  E  . (6.17) b Rys.6.4. (a) -zależności E ( p x ) ; (b) wykres funkcji gęstości stanów elektronowych dla jednowymiarowej struktury (drutu kwantowego) Przy energiach elektronów większych od E11 , elektrony mogą znajdować się nie tylko w pierwszej podpasmie, ale również w podpasmach wyższych. Każde podpasmo będzie dawało dodatkowy wkład w funkcję gęstości stanów g (E ) . Wkład ten będzie określony wzorem 2m πLy Lz 1 . E  En1n1 (6.18) Sumując wkłady w g (E ) wszystkich podpasm i używając funkcji skoku jednostkowego (6.12), ostatecznie otrzymujemy 60 g(E )  2m πLy Lz   E  En n n1 , n 2 1 2 E  En1n2 . (6.19) Wykres funkcji (6.19) jest przedstawiony na rys.6.4b. Z tego wykresu widać, że funkcja rozkładu stanów elektronowych g (E ) ma osobliwości, gdy energia elektronu przechodzi przez dna podpasm (6.14). W rzeczywistych strukturach te osobliwości nie występują wskutek tego, że rozmaite defekty struktury krystalicznej oraz dynamiczne procesy wpływają na kształt funkcji g (E ) , powodując rozmycie osobliwości funkcji g (E ) . W przypadku zerowymiarowego układu (kropki kwantowej) ruch elektronu jest ograniczony w trzech kierunkach, a całkowitą energię układu określa wzór En1n 2 n3   2π 2 n12  2π 2 n22  2π 2 n32   , 2ml y2 2mlz2 2ml x2 n1 , n2 , n3  1,2, . (6.20) gdzie l y , l z , l x - są szerokości barier potencjalnych w kierunku osi y, z i x . Liczba stanów, odpowiadających określonemu zbiorowi liczb kwantowych n1 , n2 , n3 w jednostce objętości wynosi t 2 . Lx Ly Lz (6.21) Ze wzoru (6.21) wynika, że jeżeli, na przykład Ly  Lz  Lx  L , to następuję zwyrodnienie (degeneracja) poziomów o określonych wartościach liczb kwantowych n1 , n2 , n3 . Istotnie, wtedy, na przykład poziomy E121, E112, E211 będą mieli taką samą energię. Oznaczając przez g - stopień zwyrodnienia poziomu o określonej energii, dla całkowitej liczby stanów elektronowych w jednostce objętości, mających taką samą energię możemy zapisać N tg . (6.22) Na rys.6.5 jest przedstawiony rozkład stanów elektronowych kropki kwantowej w przypadku, kiedy Ly  Lz  Lx  L . Z tego rysunku widać, że ten rozkład stanów jest zbiorem dyskretnych linii odpowiadających Rys.6.5. Rozkład stanów elektronowych kropki kwantowej w przypadku, kiedy Ly  Lz  Lx  L poziomom energetycznym zerowymiarowego układu. 61 W postaci matematycznej rozkład stanów elektronowych zerowymiarowego układu możemy zapisać korzystając z właściwości delta - funkcji Diraca , dla δ (x )    0, dla x0 x0 . (6.23) Wtedy funkcja rozkładu gęstości stanów ma postać sumy g(E )   δE  E n1n 2 n3 . (6.24) n1 , n 2 , n3 Funkcja gęstości stanów supersieci W przypadku supersieci można również wyliczyć funkcję rozkładu gęstości stanów. Opuszczając wyprowadzenie tej funkcji przedstawmy ostateczny wynik  m  1 1 E  En  ,  2  n   arcsin 2 π n  g ( E )   π  m  n,  π 2 Na rys.6.6 jest przedstawiony En  n  E  En  n ; (6.25) En  n  E  En 1  n 1. wykres zależności gęstości stanów supersieci od energii elektronu. Z tego wykresu widać, że w obszarze g ( E )  const , zabronionych a wewnątrz minipasm minipasm dozwolonych funkcja gęstości stanów g (E ) powoli rośnie i na granice minipasma ma nieskończoną pochodną. Rys.6.6. Rozkład stanów elektronowych supersieci. 2i - szerokość i - tego dozwolonego minipasma Koncentracja elektronów w układach niskowymiarowych Gęstość stanów g (E ) określa ilość stanów elektronowych przypadających na przedział energii ( E , E  dE ) w jednostce objętości (powierzchni, długości). Z drugiej strony prawdopodobieństwo obsadzenia poziomu o energii E określa funkcja rozkładu FermiegoDiraca. A zatem koncentracja elektronów w układzie wynosi  n   g ( E ) f ( E )dE . 0 62 (6.26) W przypadku układu trójwymiarowego funkcję gęstości stanów opisuje wzór (6.7). Po podstawieniu (6.7) do (6.26) otrzymujemy 1  2m  n  2  2  2π    3/ 2  E  1  exp E  μ / kT  dE . (6.27) 0 Wprowadzając bezwymiarowe wielkości E / kT  ε, dE  dε / kT, μ / kT  η , (6.28) ε 2 N C  F1 / 2 (η) , π (6.29) przepiszmy wzór (6.27) 1  2mkT   n  2  2π   2  3/ 2   1  exp( ε  η) dε  0 gdzie przez N C i F1 / 2 (η) oznaczyliśmy 1  2mkT   N C   4  π 2  3/ 2 , (6.30)  ε dε . 1  exp( ε  η) 0 F1 / 2 (η)   (6.31) Wielkość N C nosi nazwę efektywnej gęstości stanów, a F1 / 2 (η) nazywa się całką Fermiego rzędu 1/2. Całkę Fermiego nie da się, niestety, wyrazić przez elementarne funkcje. Jednak zależność F1 / 2 (η) i n(η) można opisać, dla różnych zakresów zmiany η , w bardzo dobrym przybliżeniu przez proste funkcje. W zakresie zmian η :    η  1 π exp( η) . 2 F1 / 2 (η)  (6.32) Skąd 1  2mkT   n  N C exp η    4  π 2  3/ 2 exp( μ ). kT (6.33) To przybliżenie odpowiada klasycznej statystyce Boltzmanna, kiedy gaz elektronowy jest niezwyrodniały (parametr zwyrodnienia η  μ / kT  1 ). Ze wzoru (6.33) dla potencjału chemicznego (poziomu Fermiego) znajdujemy 63   π2 3 / 2   n    kT ln 4   n . μ  kT ln  N 2m kT   C    (6.34) W zakresie zmian η :  1  η  5 F1 / 2 (η)  2 π . 1  4 exp( η) Skąd n  4NC 1 . 1  4 exp(  E F / kT ) (6.35) W zakresie zmian η : 5  η   F1 / 2 (η)  2 3/ 2 η . 3 A zatem 2 1  2m  n(η)  N C η3 / 2  2  2  3 3π    3/ 2 μ3 / 2 ; (6.36) Skąd dla poziomu Fermiego EF  μ otrzymujemy wzór EF  μ  2/3 2  3π 2  n  .  2m (6.37) Wzór (6.37) odpowiada bardzo niskim temperaturom, kiedy gaz elektronowy jest silnie zdegenerowany i prawie nie ma wzbudzonych powyżej poziomu Fermiego elektronów. W przypadku układu dwuwymiarowego funkcję gęstości stanów określa wzór (6.13). Po podstawieniu (6.13) do (6.26) znajdujemy  n m dE  E  En   2  π n 0 1  exp E  μ  / kT   m 1 .  2   dE π n E n 1  exp E  μ  / kT  (6.38) Tu założyliśmy, że Lz  1 . Wprowadzając nową zmienną x  expμ  E  / kT  , dE  kTdx / x , ze wzoru (6.38) otrzymujemy mkT n  π 2 n exp[( E F  E n ) / kT ]  0 dx mkT   μ  En    ln 1  exp   . 2  x  1 π n   kT  64 (6.39) W zwykłych warunkach doświadczalnych obsadzenie podpasm En z n  1 jest znikomo małe i wystarczy w (6.39) uwzględnić tylko pierwszy człon n mkT   μ  E1  ln 1  exp   . 2 π  kT   (6.40) Rozwiązując (6.40) dostajemy wzór na zależność położenia poziomu Fermiego (potencjału chemicznego) od koncentracji n elektronów   π 2   EF  μ  E1  kT ln exp   n   1 .   m kT   (6.41) Gdy E1  EF  kT elektrony podlegają statystyce klasycznej Boltzmanna. Mówimy, że gaz elektronowy jest silnie zdegenerowany. Wtedy ze wzoru (6.41) otrzymujemy   π 2   EF  E1  ln exp   n   1  1 . kT   m kT   (6.42) A to jest możliwe, kiedy n  mkT . π 2 (6.43) Z uwzględnieniem (6.43) ze wzoru (6.41) znajdujemy   π 2    π 2  EF  E1  kT ln exp   n   1  kT ln   n  .  m kT    m kT   (6.44) Skąd otrzymujemy wzór, który jest odpowiednikiem wzoru (6.33), opisującego przypadek układu trójwymiarowego n mkT  E  E1  exp  F . 2 π  kT  (6.45) W przypadku silnej degeneracji gazu elektronowego EF  E1  kT drugi składnik w (6.40) jest znacznie większy od jedynki i dla koncentracji elektronów otrzymujemy wzór odpowiednik wzoru (6.36), opisującego przypadek układu trójwymiarowego n m EF  E1  . π 2 Skąd dla energii Fermiego mamy 65 (6.46) EF  E1  π 2 n. m (6.47) A zatem w układzie dwuwymiarowym poziom Fermiego liniowo zależy od koncentracji n elektronów. W trójwymiarowym układzie ze wzoru (6.37) wynika, że EF ~ n 2 / 3 . W przypadku układu dwuwymiarowego warunek silnej degeneracji n  mkT / π 2 , wskutek mniejszej gęstości stanów niż w układzie trójwymiarowym, jest łatwiejszy do zrealizowania nawet w temperaturach pokojowych. W przypadku układu trójwymiarowego  realizacja warunku silnej degeneracji n  mkT / π2  3/ 2 wymaga znacznych koncentracji nośników oraz niskich temperatur. Zadania do Wykładu 6 6.1. Ze wzoru (6.13) wynika, że funkcja gęstości stanów elektronowych g (E ) skokowo zmienia się o m / Lz π 2 , kiedy energia elektronu E będzie przekraczała dno En kolejnego podpasma. Zakładając, że En  2 / 2m π / Lz  n2 2 udowodnić, że zależność funkcji gęstości stanów od grubości błony Lz ma charakter funkcji oscylującej, przedstawionej na rys.6.7. Tu W1  Rys.6.7 Zależność funkcji gęstości stanów od grubości błony Lz π 2m E - grubość błony, dla której dno najniższego podpasma pokrywa się z energią E . Zwróćmy uwagę, że właśnie z oscylacjami funkcji gęstości stanów g ( Lz ) są związane oscylacje termodynamicznych i kinetycznych charakterystyk błony przy zmianie jej grubości. 6.2. Wzór (6.7) otrzymaliśmy zakładając, że izoenergetyczne powierzchni są kulami. Udowodnić, że w przypadku izoenergetycznych powierzchni o kształcie elipsoidy 2  2  k x2 k y k z2  E   , 2  mx my mz  (6.48) funkcja rozkładu gęstości stanów ma postać g(E )  66 2mx my mz π 2 3 E . (6.49) Wskazówka: w nowych zmiennych ( k x  mx k x/ ; k y  my k y/ ; k z  mz k z/ ) izoenergetyczna powierzchnia staje się kulą. 6.3. Udowodnić, że w przypadku izoenergetycznej powierzchni (6.48) efektywną gęstość stanów N C określa wzór mx my mz  2kT 3 / 2 NC   ,  4 3  π  6.4. Wykazać, że w (6.50) przypadku silnie zdegenerowanego gazu elektronowego i izoenergetycznej powierzchni (6.48) poziom Fermiego określa wzór EF  μ  2 2m m m  x  y  3π  n 2  1/ 3 z 2/3 . (6.51) 6.5. W układzie dwuwymiarowym izoenergetyczne powierzchni opisuje wzór p 2y px2 E  En     . 2mx 2my (6.52) Udowodnić, że gęstość stanów elektronowych opisuje funkcja g(E )  mx my π 2  E  E  . n (6.53) n 6.6. Wykazać, że w przypadku silnie zdegenerowanego gazu elektronowego układu dwuwymiarowego poziom Fermiego jest związany z koncentracją elektronów n wzorem E F  E1  π 2 mx my n. (6.54) 6.7. Wyprowadzić wzór (6.16). 6.8. Udowodnić, że w przypadku gazu elektronowego niezwyrodniałego koncentrację elektronów drutu kwantowego opisuje wzór n 2mkT  E  E11  exp  F  . 2 π  kT  (6.55) 6.9. Udowodnić, że w przypadku gazu elektronowego zwyrodniałego poziom Fermiego drutu kwantowego określa wzór EF  E11  67 π 22 2 n . 8m (6.56)