Zestaw 1. Poziom Rozszerzony

Transcript

Zestaw 1. Poziom rozszerzony Zadanie 11 (7 pkt). Znajdź równanie okręgu będącego obrazem okręgu x2 + y2 - 4x + 2y + 1 = O w jednokładności o środku w punkcie A = (-2,3) i skali k= -4. Zadanie 12 (5 pkt). Wyznacz dziedzinę funkcji Zadanie 13 (7 pkt). Dany jest układ równań a) Rozwiąż go i sprawdź, czy ciąg (x, y, z) utworzony z rozwiązań tego układu jest ciągiem geometrycznym. b) Rozważmy nieskończony ciąg arytmetyczny, którego trzy pierwsze wyrazy wynoszą odpowiednio x —3, y +2, z +5, gdzie x, y, z są rozwiązaniami powyższego układu równań. Oblicz sumę 2005 początkowych wyrazów tego ciągu. Zadanie 14 (7 pkt). Napisz równania tych stycznych do wykresu funkcji f(x) =x3 - 8x, które są prostopadle do prostej y = 1 x + 3. 2 Zadanie 15 (6 pkt). Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba Ln= lln+2 + 122n+1 jest podzielna przez 133. Zadanie 16 (8 pkt). Rozwiąż nierówność Zadanie 17 (10 pkt). Przez punkt A = (2,5) poprowadź taką prostą k o współczynniku kierunkowym ujemnym, aby pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i prostą k było najmniejsze. Podaj wzór tej prostej i oblicz pole tego trójkąta. ©Irek.edu.pl 1 Zestaw 2. Poziom rozszerzony Zadanie 10 (4 pkt). Dany jest wielomian W(x) = x4 + x3 - ax + b. Wiedząc, że xo = 1 jest podwójnym pierwiastkiem tego wielomianu, znajdź resztę z dzielenia wielomianu W przez dwumian x + 1. Zadanie 11 (7 pkt). Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych? Zadanie 12 (8 pkt). Wyznacz zbiór wartości parametru a, dla których funkcja f(x)= 1 ax3 - 2x2 + (a - 3)x + 1 3 jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych. Zadanie 13 (4 pkt). Mamy dwie urny U1 i U2. W urnie U1 są 3 kule białe i 2 czarne, w urnie U2 są 4 kule białe i 4 kule czarne. Losujemy jedną kulę z urny U1 i, nie oglądając jej, wrzucamy do urny U2. Następnie z urny U2 losujemy 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie kule wyjęte z urny U2 będą czarne. Zadanie 14 (9 pkt). Dla jakich wartości parametru m równanie (m+1).9x - 2.3x+m - 1=O ma dwa rozwiązania? Zadanie 15 (4 pkt). Rozważmy funkcje f(x) = 3x oraz g(x) = log3 x. Wyznacz wzór funkcji f (g(x)), określ jej dziedzinę i wykonaj wykres. Zadanie 16 (5 pkt). Oblicz współrzędne obrazu punktu A(3, 1) w symetrii względem prostej y = 2x. Zadanie 17 (9 pkt). Określ liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru a. ©Irek.edu.pl 2 Zestaw 3. Poziom rozszerzony Zadanie 12 (9 pkt). Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)= x2 + (p+2)x + 1. Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których pierwiastki x1, x2 równania f(x) = O spełniają warunek x12 + x22< 3x1x2. Zadanie 13 (6 pkt). Rozwiąż równanie Zadanie 14 (8 pkt). Dane są dwa okręgi: (x-1)2+(y - 1)2 = 9 i (x - m)2+(y- 1)2= 4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Zadanie 15 (5 pkt). Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x) = 3 cos 2 x − 2 sin x + 1 dla x∈ℜ Zadanie 16 (4 pkt). Korzystając z definicji pochodnej, oblicz pochodną funkcji f(x) = 2 x + 3 w punkcie x0 =1. Zadanie 17 (7 pkt). Z talii 52 kart losujemy 4 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kart będą 2 asy lub 2 króle? Podaj wynik z dokładnością do 0,01. Zadanie 18 (6 pkt). Dane są proste: 1 o równaniu 3x — 4y + 2 = O i k o równaniu 4x + 3y - 7 = O. Wyznacz równania dwusiecznych kątów utworzonych przez te proste. Zadanie 19 (5 pkt). Wykaż, że funkcja f(x) jest parzysta f(x) = x log 3 ©Irek.edu.pl 2−x 2+ x 3 Zestaw 4. Poziom rozszerzony Zadanie 11 ( 13 pkt) Rozwiąż nierówność Zadanie 12 (7 pkt). Rozwiąż równanie Zadanie 13 (10 pkt). Marcin ma w szafie 10 garniturów, w tym 3 brązowe, oraz 6 par butów, w tym 2 pary brązowych. Codziennie do pracy wkłada garnitur. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Marcin pójdzie do pracy przynajmniej 3 razy w tygodniu w brązowym garniturze i brązowych butach? Przyjmij, że tydzień ma pięć dni roboczych. Garnitur i buty Marcin wybiera losowo. Zadanie 14 (7 pkt). Rozwiąż równanie Zadanie 15 (7 pkt). Wyznacz i narysuj zbiór punktów płaszczyzny spełniających warunek x2 + y2 = 2|x| + 2y. Zadanie 16 (6 pkt). Długości podstaw trapezu równoramiennego wynoszą 4 i 6, a jego wysokość jest równa 2. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego trapezu wokół krótszej podstawy. Wykonaj odpowiedni rysunek. ©Irek.edu.pl 4 Zestaw 5. Poziom rozszerzony Zadanie 10 (8 pkt). Dana jest funkcja f(x)= 3mx2- (m+1)x- 1. Rozwiąż metodą graficzną nierówność f( |x|)≥ 0, wiedząc, że osią symetrii paraboli będącej wykresem 1 3 funkcji f jest prosta x= . Zadanie 11 (6 pkt). Wykaż, że funkcja f(x) = x+3 jest różnowartościowa. x−2 Zadanie 12 (4 pkt). Dobierz taką wartość parametru a, aby funkcja f określona wzorem była ciągła w punkcie xo = 1. Zadanie 13 (10 pkt). Rozwiąż równanie 3n 2 + 2n + 1 n →∞ 3 + 6 + 9 + K + 3n log 9 x + (log 9 x ) + (log 9 x ) + K = lim 2 3 Zadanie 14 (9 pkt). Suma wysokości i promienia podstawy stożka wynosi 6. Wyznacz wysokość i promień podstawy stożka, dla których objętość tej bryły jest największa. Zadanie 15 (5 pkt). Rozwiąż równanie Zadanie 16 (8 pkt). Miara kąta zawartego między najkrótszym a najdłuższym bokiem pewnego trójkąta wynosi 600. Oblicz długości boków tego trójkąta i długość promienia okręgu na nim opisanego, wiedząc, że najdłuższy bok jest o 3cm dłuższy od najkrótszego, a trzeci bok jest o 40% dłuższy od najkrótszego. ©Irek.edu.pl 5 Zestaw 6. Poziom rozszerzony Zadanie 11 (6 pkt). Rozwiąż równanie log x 2 = 1 12 log(6 x + 5) 12 Zadanie 12 (11 pkt). Zbadaj przebieg zmienności i wykonaj wykres funkcji f ( x) = x − x 3 + x 5 − x 7 + K Zadanie 13 (17 pkt). Ze zbioru Z = {x ∈ C : 32x+1- 244. 3x + 81 <0} losujemy ze zwracaniem trzy liczby a, b, c i tworzymy funkcję y = ax2 + bx + c. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: a) A — „otrzymana funkcja jest rosnąca w ℜ” b) B „otrzymana funkcja jest parzysta”. Zadanie 14 (8 pkt). Znajdź wszystkie rozwiązania równania sin2x= |sinx| - sinx należące do przedziału 2π ,4π . Zadanie 15 (4 pkt). Sprawdź, czy przekształcenie P(x, y) = (-x, y), gdzie x, y ∈ R, jest izometrią. Zadanie 16 (4 pkt). Pani Zosia zachorowała w Chinach na bardzo groźną chorobę zakaźną zwaną SARS. Ponieważ nie poddała się kwarantannie i leczeniu, w pierwszej godzinie po przyjeździe do kraju zaraziła dwie osoby. Każda z nowo zakażonych osób zaraża w ciągu następnej godziny kolejne dwie osoby. Oblicz, po ilu godzinach na SARS zachoruje całe 1,5-milionowe miasto. ©Irek.edu.pl 6 Zestaw 7. Poziom rozszerzony Zadanie 12 (5 pkt). Rozwiąż równanie 34x-1 + 2 . 9x - 9 =0. Zadanie 13 (8 pkt). Dana jest funkcja f(x) = x2 2x − 1 a) Wyznacz wzór funkcji g(x) = f(f(x)). b) Określ dziedzinę funkcji g. c) Wyznacz zbiór argumentów, dla których funkcja g przyjmuje wartości ujemne. d) Oblicz lim f ( x) . x→3 e) Oblicz lim f ( x) . x→∞ Zadanie 14 (7 pkt). Rozwiąż równanie: cos3x - cosx = sin2x dla x ∈ 0,2π Zadanie 15 (6 pkt). Wykaż, że równanie x3 + 2x + 7 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Zadanie 16 (6 pkt). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie |x2 - 2x – 3| = m ma: a) trzy rozwiązania dodatnie i jedno ujemne, b) dwa rozwiązania dodatnie i dwa ujemne. Zadanie 17 (13 pkt). Rozwiąż układ równań: Zadanie 18 (5 pkt). Sklep zaopatruje się w owoce cytrusowe pomarańcze i cytryny tylko w dwóch hurtowniach: H1 i H2, przy czym właściciel sklepu 40% towaru zamawia w hurtowni H1, pozostałe 60% bierze z hurtowni H2. W tym tygodniu właściciel kupił 12 kg cytryn i 48 kg pomarańczy w hurtowni H1 oraz 40kg cytryn i 50kg pomarańczy w hurtowni H2. Pani Małgorzata kupiła 1 kg cytryn. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupione cytryny pochodziły z hurtowni H1? ©Irek.edu.pl 7 Zestaw 8. Poziom rozszerzony Zadanie 11 (6 pkt). Rozwiąż równanie (|x – 1| - 3)sin4x + cos4x – 1 =1 Zadanie 12 (7 pkt). Udowodnij, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że Zadanie 13 (9 pkt). a) Zbadaj liczbę rozwiązań równania x+ 4 = b+5 w zależności od x−5 parametru b. b) Wykonaj wykres funkcji y = f(b) określającej zależność liczby rozwiązań powyższego równania od parametru b. c) Podaj wzór funkcji y = f(b). Zadanie 14 (12 pkt). Niech Wyznacz zbiory A i B oraz A ∩ B. Zadanie 15 (8 pkt). Na podstawie definicji wykaż, że funkcja f(x)= x2 - 4x jest rosnąca dla każdego x ∈ (2, ∞). Zadanie 16 (8 pkt). Mleko o objętości V0 należy wlać do naczynia w kształcie walca i przykryć pokrywą kołową. Wyznacz taki promień podstawy, aby na wykonanie naczynia zużyć jak najmniej materiału. ©Irek.edu.pl 8 Zestaw 9. Poziom rozszerzony Zadanie 1. 4 π i a ∈ (0, )„ sprawdź, że liczby: 3 2 14 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. sinα, cosα, tgα 15 Wiedząc, że tgα = Zadanie 2 Wiedząc, że wykres funkcji y = ax + b przechodzi przez punkt A = (6,4), określ, dla jakich wartości parametru a ∈ R wykresy funkcji y = |x – 2| + 2 oraz y = ax + b nie mają punktów wspólnych. Zadanie 3. Dany jest wielomian: W(x) = x3 + 4mx2 + 4m2x. Określ przedziały monotoniczności w zależności od wartości parametru m ≥ 0. Zadanie 4. Wiedząc, że α, β, y są kątami trójkąta prostokątnego, oblicz wartość wyrażenia: Zadanie 5. Boki trójkąta równobocznego o polu S podzielono na trzy równe części i na środkowych z nich zbudowano trójkąty równoboczne. W otrzymanych trójkątach dwa boki tak samo podzielono na trzy równe części i zbudowano na nich trójkąty równoboczne. Tak możemy postępować w nieskończoność. Oblicz sumę pól wszystkich trójkątów. ©Irek.edu.pl 9 Zadanie 6. Z punktu A leżącego na okręgu poprowadzono dwie cięciwy równej długości AK i AM. Wiedząc, że KM =4 i że punkty Ki M dzielą okrąg na dwie części w stosunku 1:5, oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem. Zadanie 7. Odcinek o końcach w punktach A= (2, -3) i B = (6, 1) jest podstawą trójkąta równoramiennego, którego jedno z ramion zawiera się w prostej x +2y - 8 = O. Wyznacz trzeci wierzchołek i pole tego trójkąta. Zadanie 8. Wykaż, że jeśli a∈ (1;∞) i b ∈(l;∞), to logab+logba ≥ 2. Zadanie 9. Prostokąt o wymiarach 5 i 12 zgięto wzdłuż przekątnej tak, że płaszczyzny zawierające obie części prostokąta są prostopadłe. Po zgięciu wierzchołki prostokąta wyznaczają czworościan. Oblicz objętość tego czworościanu oraz pole powierzchni kuli opisanej na tym czworościanie. Zadanie 10. Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy trzy różne liczby. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich suma jest liczbą parzystą? b) Suma wylosowanych liczb jest parzysta. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane liczby są parzyste? ©Irek.edu.pl 10 Zestaw 10. Poziom rozszerzony Zadanie 1. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 24n+1 + 34n+1 jest podzielna przez 5. Zadanie 2. log 1 x Wykonaj wykres funkcji: f ( x) = 2 Dla jakich a ∈ R wykresy funkcji f(x) i g(x)= ax + 1 mają dwa punkty wspólne? 2 Zadanie 3. Dla jakich wartości parametru m ∈ R zbiorem rozwiązań nierówności: x 2 + 2x + 2 >0 x 2 − 3mx + 1 jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? Zadanie 4. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia: π  cos x + sin  + x  2  π  sin x − cos + x  2  W przedziale π π . , 4 2 Zadanie 5. Z miejscowości A do miejscowości B jest 60 km. Rowerzysta na drodze z A do B jechał ze średnią prędkością 30 km/h. Z jaką średnią prędkością powinien wracać z B do A, aby średnia prędkość na całej trasie w obie strony wyniosła 20 Zadanie 6. Liczbę 12 przestaw w postaci sumy nieskończenie wielu wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie q = − 2 3 Zadanie 7. Wykaż, że jeżeli trzy kolejne kąty czworokąta wpisanego w okrąg tworzą ciąg arytmetyczny, to co najmniej dwa kąty tego czworokąta są proste. ©Irek.edu.pl 11 Zadanie 8. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)= 2x3 - 3x2 + 5 w punkcie o odciętej x = − 1 2 Zadanie 9. Dane są punkty: A = (2, -3) i B = (6, 1). Na prostej y = -2 znajdź taki punkt C, aby pole trójkąta ABC było równe 8. Zadanie 10. Podstawą czworościanu ABCS jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB = 20 cm i przyprostokątnej BC = 16 cm. Krawędź CS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i ma długość równą krawędzi AC. Punkty K, L, M, N są odpowiednio środkami krawędzi AC, BC, BS, AS. Oblicz pole przekroju czworościanu płaszczyzną wyznaczoną przez punkty K, L, M, N. Zadanie 11. Ośmioosobową grupę przedszkolaków pani ustawia w sposób losowy W pary (jedna za drugą). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że ustalona dwójka dzieci: a) będzie stała ze sobą w jednej parze, b) nie będzie stała ze sobą w jednej parze. ©Irek.edu.pl 12 Zestaw 11. Poziom rozszerzony Zadanie 1. Aby liczbę 373 przedstawić w układzie dwójkowym, dzielimy kolejno przez 2 tę liczbę, a następnie otrzymane ilorazy. Wyniki możemy ująć w następującej tabeli: Wynika stąd, że: 373=1.2°+0.21 +1.22+0.23+1.24 + 1.25+1.26 +0.27+1.28= 1011101012. Przeprowadź analogiczne rozumowanie i przedstaw liczbę 237 w układzie dwójkowym. Zadanie 2. Odległości przedmiotu i obrazu od soczewki spełniają zależność: 1 1 1 = − f b g gdzie: f—ogniskowa soczewki, g — odległość przedmiotu od soczewki, b — odległość obrazu od soczewki. Po przeprowadzeniu doświadczenia i wykonaniu pomiarów otrzymano następujące wyniki: b=73±0,5mm, g= 122±0,5mm. Oszacuj długość ogniskowej tej soczewki. Zadanie 3. Dla jakich wartości parametru b nierówność 2x − b − 5 < O jest spełniona przez 3x + b + 5 wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że |x|≤ 2? Zadanie 4. Wyznacz największy wyraz ciągu (an) określonego wzorem an = 2n n + 100 2 Zadanie 5. Rozwiąż równanie: x2 9 28  3 x  + 2 =  −  4 x 5  x 2 Wskazówka. Warto zastosować podstawienie 3 x − =t x 2 Zadanie 6. Dane są zbiory: A=(x,y): x≥0 i y≥0 B = {(x,y) : y≤-√3x + √3 ) a) Zaznacz na płaszczyźnie współrzędnych zbiór A ∩B. b) Wyznacz promień największego okręgu zawartego w A ∩ B. ©Irek.edu.pl 13 Zadanie 7. Znajdź liczbę x, która spełnia jednocześnie równanie: x 3 = lim a →∞ [ (a + x)(a + x ) − a] 2 i nierówność x3>x Zadanie 8. Trójkątna płytka ma szczelnie zakrywać róg prostopadłościennego pokoju, tak jak to przedstawia rysunek. Punkt A znajduje się w odległości 9cm od rogu, punkt B w odległości 12cm, a C na wysokości 16cm nad podłogą. Znajdź długości boków trójkąta ABC i oblicz jego pole. Zadanie 9. Wykres funkcji wielomianowej czwartego stopnia jest symetryczny względem osi y i przechodzi przez punkt P = (0,4), natomiast styczna do wykresu w punkcie Q = (4,0) jest równoległa do osi x. Znajdź wzór, którym ta funkcja jest określona i naszkicuj jej wykres. Zadanie 10. Do prostokątnej tafli szkła o szerokości 4 dm przyłożono szablon w kształcie paraboli, aby wyciąć fragment witraża. Z pozostałej części tafli artysta musi jeszcze wykroić prostokąt o możliwie największej powierzchni. Opisaną sytuację przedstawia rysunek. Podaj wymiary tego prostokąta. Zadanie 11. Dwie kule o środkach A i B oraz promieniach równych odpowiednio 1 i 3 zawarte są w trzeciej, większej od nich kuli. Wykaż, że jeśli |AB| = 5, to promień tej największej kuli jest większy lub równy 4,5. ©Irek.edu.pl 14 Zestaw 12. Poziom rozszerzony Zadanie 1. Korzystając z własności funkcji wykładniczej, uzasadnij, że równanie 3x + 4x = 5x ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zadanie 2. Wykaż, że pole obszaru ograniczonego osią x oraz wykresami funkcji 6 x f(x)= − 2 i g(x)=-x2+4x-3 jest mniejsze niż 4 3 Zadanie 3. Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu (an) jest równa 1 4 Sn = − + 3n 4 Wykaż, że: a1. a2. a3 . … .an = 3 n ( n −1) 2 ⋅ 2 −n Zadanie 4. Wyznacz wszystkie rozwiązania równania: π π 3   sin 2  x +  + cos 2 x − 2 sin  x +  − 2 cos x + = 0 4 4 2   Zadanie 5. Oblicz wartość wyrażenia x3 + 1 1 wiedząc, że x + = 3. 3 x x Zadanie 6. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których nierówność: 1 + log5(x2 + 1) ≥log5(ax2 + 4x + a) jest spełniona dla każdego x ∈ R. Zadanie 7. Rozwiąż równanie: w którym lewa strona jest zbieżnym szeregiem geometrycznym. Zadanie 8. Figurę geometryczną F opisaną nierównością: x2+ y2 + 2x - 4y + 1≤ 0 przekształcono symetrycznie względem osi Y. Oblicz pole figury będącej sumą figury F i jej obrazu w podanej symetrii. ©Irek.edu.pl 15 Zadanie 9. Trzyosobowa komisja kwalifikuje pisarzy do finału literackiej nagrody Nike. Pisarz zostaje zakwalifikowany, gdy wszyscy członkowie komisji zgodnie poprą jego kandydaturę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu kandydatów przynajmniej jeden znajdzie się w finale? Zadanie 10. Z ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi postawy długości 6 cm i wysokości długości 6 cm wykonanego z cegły wycięto wpisany w niego sześcian. Czy otrzymana w ten sposób bryła będzie pływała w wodzie? Uwaga. Ciało pływa w cieczy, gdy jego gęstość jest mniejsza niż gęstość cieczy. Gęstość wody p = 103 kg/m3, gęstość cegły p = 1,5 . l0 kg/m3. Masę powietrza zawartego w otrzymanej bryle pomijamy. ©Irek.edu.pl 16 Zestaw 13. Poziom rozszerzony Zadanie 1. Niech α i β będą kątami przedstawionymi na poniższym rysunku. Oblicz cosβ, wiedząc, że sinα = 4 5 Zadanie 2. Rozwiąż równanie, którego lewa strona jest szeregiem geometrycznym: Zadanie 3. Wielkość gwiazdowa, tzw. magnitudo (w skrócie mag), jest to powszechnie używana miara jasności widzialnej obiektów astronomicznych. Do wyznaczania wielkości gwiazdowej służy wzór: m = -2,5logE - 14,05, gdzie: m — wielkość gwiazdowa, E — natężenie światła gwiazdy w luksach. a) Gwiazda Polarna świeci z natężeniem 3,8.10-7 luksa. Jaka jest wielkość gwiazdowa Gwiazdy Polarnej? b) Czy jaśniej świeci gwiazda o wielkości gwiazdowej 1 mag, czy o wielkości 2 mag? c) Jeśli jedna z dwóch gwiazd świeci z natężeniem 100 razy większym niż druga, to o ile mag różnią się ich wielkości gwiazdowe? Zadanie 4. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Wynik z pierwszej kostki zapisujemy jako współrzędną x, z drugiej — jako współrzędną y. Otrzymujemy w ten sposób punkt (x, y) w układzie współrzędnych. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymany punkt należy do okręgu: (x - 3)2+ (y - 4)2 =5. b) Rzut powtarzamy. Jeśli otrzymamy ten sam punkt, kończymy doświadczenie, jeśli inny, to przez oba punkty prowadzimy prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wyniku tego doświadczenia narysujemy prostą y = x — 2? ©Irek.edu.pl 17 Zadanie 5. Oblicz pole figury określonej układem nierówności: Zadanie 6. W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisany jest walec — jedna podstawa walca jest zawarta w podstawie ostrosłupa, druga podstawa ma jeden punkt wspólny z każdą ścianą boczną ostrosłupa. Krawędź podstawy ostrosłupa jest równa wysokości ściany bocznej. Przy jakim stosunku wysokości walca do wysokości ostrosłupa objętość jest największa? Zadanie 7. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji, której wzór można zapisać w postaci: f(x) = k(x - a)(x - b)( x- c). Korzystając z wykresu, wyznacz wartości a, b, c i k. Podaj zbiór rozwiązań nierówności f(x)≤ x2 + 3x. Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x-4) - 5 i oblicz jej miejsca zerowe. Zadanie 8. Funkcja f określona jest następująco: Oblicz wartości parametrów k i m tak, aby funkcja była ciągła w całej swojej dziedzinie. Narysuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości. Wyznacz pochodną i narysuj jej wykres. ©Irek.edu.pl 18 Zestaw 14. Poziom rozszerzony Zadanie 13. Na podstawie przeprowadzonych badań stwierdzono, że 20 mężczyzn na 1000 i 3 kobiety na 500 posiada wadę wymowy. Spośród 20 losowo wybranych osób — 10 kobiet 10 mężczyzn wybrano (także losowo) jedną osobę. Okazało się, że nie posiada ona wady wymowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mężczyzna? Zadanie 14. Na rysunku przedstawiono wykresy Funkcji f i g. a) Odczytaj rozwiązania równania f(x) = g(x). b) Odczytaj rozwiązanie nierówności f(x) ≥g(x). Zadanie 15. Określ liczbę rozwiązań układu równań Zadanie 16. Znajdź takie wartości parametru a, dla których liczby: są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Zadanie 17. Rozwiąż graficznie równanie: ©Irek.edu.pl 19 Zadanie 18. Równanie można rozwiązać, stosując metodę podstawiania, w następujący sposób: Wobec tego dla x ≥-8: Podstawiamy x + 8 = t. Stąd t2 - 6t + 5 = 0, gdzie t ≥0. Zatem t1 = 1 lub t2 = 5. Wobec tego Podnosząc obie strony tych równości do kwadratu, otrzymujemy rozwiązanie: x = -7 lub x = 17. Obie liczby spełniają warunek x ≥-8. Rozwiąż podobnie równanie: Zadanie 19. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 4. Kąt nachylenia płaszczyzny podstawy do płaszczyzny przechodzącej przez krawędź podstawy i środek krawędzi bocznej ma 300. Oblicz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. Zadanie 20. Dany jest punkt P = (0,4) i okrąg o równaniu: x2 +y2 - 6x + 4 = 0. Znajdź równania stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt P oraz miarę kąta ostrego między tymi stycznymi. Zadanie 21. Narysuj wykresy odpowiednich funkcji, a następnie rozwiąż nierówność: Zadanie 22. Dana jest funkcja f(x) = x3 (1 − x )2 a) Zbadaj parzystość funkcji f. b) Podaj równania asymptot wykresu. c) Określ przedziały monotoniczności. d) Wyznacz ekstrema. ©Irek.edu.pl 20 Zestaw 15. Poziom rozszerzony Zadanie 11. Dany jest trójmian kwadratowy: Przedstaw iloczyn dwóch różnych rzeczywistych pierwiastków tego trójmianu jako funkcję zmiennej m. Narysuj wykres tej funkcji i podaj jej zbiór wartości. Zadanie 12. Wyznacz liczbę rozwiązań układu równań: w zależności od parametru a. Zadanie 13. Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego (an) wynosi 28. Suma wyrazów ciągu utworzonego z wyrazów ciągu (an) o numerach parzystych wynosi 12. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz ciągu (an). Zadanie 14. Narysuj wykres funkcji: f(x) = log3 x, a następnie, wykonując odpowiednie przekształcenia geometryczne, narysuj wykres funkcji: Zadanie 15. Rozwiąż równanie: Zadanie 16. W trójkąt równoramienny wpisano okrąg i poprowadzono styczną do tego okręgu równoległą do podstawy trójkąta. Pole utworzonego w ten sposób trapezu stanowi 16 pola trójkąta. Oblicz cosinus kąta pomiędzy ramionami 25 trójkąta. ©Irek.edu.pl 21 Zadanie 17. Niech Z będzie zbiorem punktów o współrzędnych całkowitych należących do okręgu x2 + (y - 4)2 = 5. Losujemy dwa różne punkty ze zbioru Z i prowadzimy przez nie prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że współczynnik kierunkowy tej prostej będzie równy 3? Zadanie 18. Podstawą graniastosłupa jest równoległobok o bokach długości 4 i 2 oraz dłuższej przekątnej długości 2 7 . Długość krótszej przekątnej bryły wynosi 2 15 . Oblicz objętość graniastosłupa. Zadanie 19. Ile jest takich stycznych do wykresu funkcji które mają współczynnik kierunkowy równy 8. Podaj równanie jednej z tych stycznych. ©Irek.edu.pl 22 Zestaw 16. Poziom rozszerzony Zadanie 10. Dla jakich wartości parametru m wielomian: ma pierwiastek potrójny? Dla najmniejszej z wyznaczonych wartości m rozwiąż nierówność W(x) ≤0. Zadanie 11. Ciąg opisany jest wzorem rekurencyjnym: Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. Wykaż przez indukcję, że znaleziony wzór jest zgodny z definicją rekurencyjną tego ciągu. Oblicz granicę ciągu. Zadanie 12. a) Logarytm dziesiętny pewnej liczby naturalnej wynosi w przybliżeniu 7,813 Ile cyfr ma ta liczba? b) Wiedząc, że log 3≈ 0,477, oblicz, ile cyfr ma liczba 32005 Zadanie 13. Wykaż, że jeśli w trapez równoramienny można wpisać okrąg, to pole powierzchni tego trapezu wyraża się wzorem P = c2 sinα, gdzie α jest miarą kąta ostrego trapezu, a c - długością ramienia. Zadanie 14. Punkty A i B są punktami przecięcia paraboli y = - 4x + 5 z prostą 2x + y - 8 = 0. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A i B, którego środek należy do prostej x + y - l = 0. Zadanie 15. Walczą ze sobą dwie florecistki: A i B. Zwycięża ta z nich, która pierwsza osiągnie 15 trafień. Prawdopodobieństwo trafienia przez zawodniczkę A wynosi 5 4 , przez zawodniczkę B - Jakie jest prawdopodobieństwo 9 9 zwycięstwa florecistki B, jeśli prowadzi ona 13:12? ©Irek.edu.pl 23 Zadanie 16. Mówimy, że wykresy funkcji są styczne, jeśli mają wspólną styczną w swoim wspólnym punkcie. Narysuj parabole y= -x2 -8x – 7 i y = 1 2 x - 2x – 1 2 i sprawdź, czy są one styczne. Zadanie 17. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 5 sin2 x + 3 cos2 x. Zadanie 18. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość a; wysokość ściany bocznej wynosi 2a. Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przechodzącą przez środki przeciwległych krawędzi bocznych. ©Irek.edu.pl 24 Zestaw 17. Poziom rozszerzony Zadanie 10. Wykaż, że jeśli suma trzech liczb jest podzielna przez 3, to także suma ich sześcianów jest podzielna przez 3. Zadanie 11. Na poniższym rysunku przedstawiony jest trójkąt równoboczny i kwadrat. Oblicz stosunek pola trójkąta do pola kwadratu. Zadanie 12. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy. Przekrój jest trójkątem równobocznym. Oblicz miarę kąta pomiędzy płaszczyznami sąsiednich ścian ostrosłupa. Zadanie 13. Chcemy przedstawić liczbę 28 w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych dodatnich. Jeśli takie liczby istnieją, to 28 = m2 - n2 = (m + n)(m - n) dla m,n ∈N Liczby m i n możemy znaleźć następująco: zauważmy, że 28 = 2.14. Załóżmy, że m + n = 14 i m - n = 2. Otrzymujemy więc układ równań Po dodaniu stronami otrzymamy 2m = 16, zatem m = 8 i n = 6. Tak więc 28 = 82 - 62. a) Stosując analogiczną metodę, przedstaw liczbę 33 jako różnicę kwadratów dwóch liczb naturalnych. b) Wykaż, że nie można w ten sposób przedstawić liczby 50. c) Podaj warunek, jaki spełniają czynniki pierwsze liczby naturalnej, którą można przedstawić jako różnicę kwadratów dwóch liczb naturalnych. ©Irek.edu.pl 25 Zadanie 14. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej parzystej n liczba 13n + 6 jest podzielna przez 7. Zadanie 15. Rozwiąż nierówność, której lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego: Zadanie 16. W urnie są 4 kule niebieskie i pewna liczba kul czerwonych. Losujemy 2 kule. Prawdopodobieństwo, że będą to kule w tym samym kolorze, wynosi 3 . 5 a) Ile jest czerwonych kul? b) Wylosowano kule w tym samym kolorze. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są to kule niebieskie? Zadanie 17. Dobierz współczynniki a, b i c we wzorze funkcji f(x) = x3 + ax2 + bx + c, tak, aby spełnione były jednocześnie dwa warunki: • wykres funkcji f przecina się z wykresem funkcji f ` w punkcie (-1,4), 1 3 • najmniejszą wartością funkcji f ` jest − 4 . Zadanie 18. Znajdź dziesięć najmniejszych dodatnich rozwiązań równania tg 4x = sin 8x. Uwaga do zadania 18. Znajomość wzorów na wielokrotności kąta funkcji trygonometrycznych wykracza poza Podstawę programową, ale jest jednym z wymagań egzaminacyjnych wymienionych w Informatorze maturalnym. ©Irek.edu.pl 26 Zestaw 18. Poziom rozszerzony Zadanie 1.(4p.) Młodzież pewnego liceum odpowiadała na pytanie ile razy w miesiącu korzystasz z Internetu?”. Tabela przedstawia opracowane dane ankietowe. Korzystając z danych w tabeli: a) Oblicz średnią liczbę uczniów w klasach tego liceum. b) Oblicz odchylenie standardowe liczby uczniów w poszczególnych klasach, podając wynik z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. c) Oblicz średnią liczbę dni korzystania z Internetu przez uczniów tej szkoły, przyjmując, że każdy uczeń w opisywanych grupach dziewcząt i chłopców danej klasy korzysta z Internetu dokładnie tyle razy ile wynosi średnia dla danej grupy. Wynik zaokrąglij do części całkowitej. Zadanie 2. (4p) Zdarzenia A,B ⊂ Ω są niezależne. Wiedząc, że P(A)= 1 1 , P(B`) = , oblicz 3 2 P(A`∪ B). Zadanie 3. (6p.) Wykaż, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że dla każdego n∈ℵ+, n ≥ 2 prawdziwa jest równość Zadanie 4. ( 4p) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. ©Irek.edu.pl 27 a) Wiedząc, że prosta o równaniu y + 1 = 2(x - 1 0) jest styczną do wykresu funkcji f, wyznacz punkt styczności. b) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = sgnf `(x). która przyjmuje wartość 1 gdy pochodna jest dodatnia, wartość -1, gdy pochodna jest ujemna oraz 0 jeśli pochodna przyjmuje wartość 0. Zadanie 5 (5p.) W trójkącie ABC mamy: |AB| = 4, |AC| =6. Suma długości wysokości opuszczonych na boki AB i AC jest równa długości wysokości opuszczonej na bok BC. Oblicz obwód trójkąta ABC. Zadanie 6. (5p.) Wykaż, że funkcja f określona dla x ∈ R wzorem jest nieparzysta. Zadanie 7.(5 P.) Dany jest nieskończony, malejący ciąg geometryczny (an). Oblicz sumę wszystkich jego wyrazów o numerach parzystych, jeżeli pierwszy wyraz jest równy 2 oraz 13 a n = a n −1 + a n +1 dla n>2. 6 Zadanie 8. (8p.) Wyznacz wartości parametru m ∈ R tak, aby równanie (2m+2)x4 —(m+4)x2 +1=0 miało cztery pierwiastki rzeczywiste, których suma kwadratów jest równa 5 2 Zadanie 9. (4P.) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 30°. Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej ostrosłupa jest równa 2. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zadanie 10. (5 P.) Ze zbioru {1, 2, 3, …, 2005} losujemy kolejno bez zwracania 5 liczb. tworząc z nich w kolejności losowania ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to ciąg rosnący. ©Irek.edu.pl 28 Zestaw 19. Poziom rozszerzony Zadanie 1. (3 P.) Wiedząc, że narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = max{4 - x2, 2 - x} dla x ∈<- 3;3>. Zadanie 2. (5p) Funkcja f określona jest wzorem: Wyznacz wszystkie wartości parametru a ∈R, dla których funkcja f jest ciągła w punkcie x =4. Zadanie 3. (5p.) Środek masy układu dwóch punktów materialnych A, B o masach równych odpowiednio m1, m2 to taki punkt S, że m1 SA + m2 SB = 0 Korzystając z powyższej definicji, wyznacz współrzędne punktu S — środka masy układu dwóch punktów materialnych A = (- 3. 3), B =(7, - 2) o masach odpowiednio m1 =3, m2 =2. Zadanie 4. (8 p.) W kulę o promieniu długości 2 został wpisany stożek. Wśród wszystkich stożków wpisanych w kulę istnieją dwa stożki o objętości 4 razy mniejszej od objętości kuli. Oblicz, jakie długości mają wysokości tych stożków. Zadanie 5.(4p.) Wiadomo, że proste AD, BE i CF są równoległe oraz że |AE| = 14, |DO| = 3. |0C| =8, |BE| =6 i |CF| = 16. Korzystając z podanych na rysunku danych, oblicz długość odcinka AO. ©Irek.edu.pl 29 Zadanie 7. (5 P.) Nieskończone ciągi geometryczne (an) i (bn) mają wszystkie wyrazy dodatnie, ich pierwsze wyrazy są równe, iloraz ciągu (bn) jest 7 razy większy od ilorazu ciągu (an) i suma wszystkich wyrazów ciągu (bn )jest 7 razy większa od sumy wszystkich wyrazów ciągu (an). Oblicz ilorazy tych ciągów. Zadanie 6. (6p.) Dwa prostopadłe boki czworokąta ABCD mają równe długości i zawierają się w dodatnich półosiach układu współrzędnych. Prosta o równaniu y = 2x jest symetralną jednego z boków czworokąta, a punkt A = (5, 0)—jednym z jego wierzchołków. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków czworokąta. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych. Zadanie 8. (5 P.) Punkt D należy do przeciwprostokątnej równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC oraz |AD|:|DB| = 1 :2. Oblicz cos|∠ADC|. Sporządź rysunek. Zadanie 9. (9 P.) Wyznacz zbiór tych wszystkich par (x, y), dla których nierówność ma sens, i zaznacz ten zbiór na rysunku 1. Następnie rozwiąż podaną nierówność i zbiór jej rozwiązań zaznacz na rysunku 2. ©Irek.edu.pl 30 Zestaw 20. Poziom rozszerzony Zadanie 1(7p.) Liczby x1 , x2 są pierwiastkami równania x2 - m2x- n2x+m•n=0. Wyznacz m i n, gdzie Zadanie 2 (3 P.) Aby napisać równanie prostej, do której należą punkty A = (-1, 2) i B = (4, 6), postępujemy w następujący sposób: o jeżeli punkt C = (x, y) należy do prostej AB, to AB jest równoległy do AC . o istnieje t∈ R takie, że AB =t ⋅ AC . o [5.4] =[t(x+ 1),t(y—2)], 5 4 i t= , x +1 y−2 x +1 y − 2 = o 5 4 o t= o równanie prostej ma postać: 4x—5y+ 14=0. Postępując w taki sam sposób, napisz równanie prostej, do której należą punkty A = (0, 5) i B = (- 3, 7). Zadanie 3 (5 P.) Funkcja f jest określona wzorem f(x) =2cos2 x + cosx —l dla x ∈ 0,2π . Wyznacz najmniejszą i największą wartość tej funkcji. Zadanie 4 (4P.) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = |log(x - 1)| - 2. Korzystając z wykresu tej funkcji, ustal liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od wartości parametru m ∈ R. Zadanie 5. (6 p.) Oblicz pole trójkąta ograniczonego styczną do wykresu funkcji f(x) = a x (a > 0,x >0) i osiami układu współrzędnych. Zadanie 6. (4 P.) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej ma długość d. Miara kąta utworzonego przez przekątną ściany bocznej i przekątną podstawy wychodzące z tego samego wierzchołka jest równa α Oblicz objętość tego graniastosłupa. ©Irek.edu.pl 31 Zadanie 7. (8p.) Napisz równania stycznych do okręgu o równaniu x2 + y2 + 6x + = O w punktach tego okręgu należących do osi OY. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są: środek okręgu, punkty wspólne okręgu i osi OY oraz punkt przecięcia stycznych do tego okręgu. Zadanie 8.(4P.) Rozwiąż nierówność Zadanie 9. (4 P.) Zdarzenia losowe A oraz B są niezależne. Wiadomo, że P(A) = P(B) = P(B`). Oblicz P(A`∩B`). Zadanie 10. (5 P.) W trójkąt równoramienny o podstawie długości a i kącie do niej przyległym o mierze α wpisano prostokąt tak, że dwa jego wierzchołki należą do podstawy trójkąta. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie należy do boku prostokąta przeciwległego do podstawy trójkąta. Oblicz pole prostokąta. ©Irek.edu.pl 32 Zestaw 21. Poziom rozszerzony Zadanie 1. (5P.) Dane są zbiory: Na płaszczyźnie z wprowadzonym prostokątnym układem współrzędnych zaznacz zbiory A, B oraz A ∩B. Zadanie 2 (6p.) Dany jest ciąg arytmetyczny(an), w którym a1 + a3 = - 34 i a2 —a3 = - 4. Wyznacz liczbę n tak, aby suma n początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu była najmniejsza. Zadanie 3 ( 8p) Naszkicuj wykres funkcji f określonej f(x) = sin2x.|tgx|. Z wykresu odczytaj i zapisz rozwiązania równania f(x) = 1. Zadanie 4. (5 p.) W stożek wpisana jest kula. Promień okręgu, który jest wspólną częścią powierzchni kuli i powierzchni stożka, ma długość r, kąt między tworzącą stożka i jego wysokością ma miarę α. Oblicz objętość stożka. Zadanie 5. (6p.) Ze zbioru liczb {1, 2,3,.... 14} losujemy jednocześnie trzy liczby. Opisz zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia losowego. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A — iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 33. Zadanie 6. (5P.) Zaznacz na płaszczyźnie z wprowadzonym prostokątnym układem współrzędnych zbiór punktów (x,y). których współrzędne spełniają warunek log(x + y) = logx + logy. Zadanie 7. (8p.) Wyznacz pole trójkąta o wierzchołkach A = (0, x), B = (x, 3)., C = (1, 3) jako funkcję f zmiennej x i naszkicuj jej wykres. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od wartości parametru m∈R. Zadanie 8. (7p.) W okrąg o promieniu długości 10 wpisano czworokąt ABCD w taki sposób, że przekątna AC jest średnicą tego okręgu i tworzy z bokiem AD kąt o mierze 300, a z bokiem AB kąt o mierze 450. Oblicz długość przekątnej BD tego czworokąta oraz jego pole. ©Irek.edu.pl 33 Zestaw 22. Poziom rozszerzony Zadanie 1. (5p.) Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x3 — 3mx2 — 3mx — 4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R. dla których funkcja f jest rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych. Zadanie 2. (4p.) Liczby a1, a2, a3…, an są wyrazami ciągu arytmetycznego takimi, że a1= a i an = b. Wyraź w zależności od a, b, n sumę Zadanie 3. (9p.) Rozwiąż nierówność 1 + log2 (sin2x) + log2 2(sin2x) + ... <0(6). w której lewa strona jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego i x ∈ (0; π). Zadanie 4. (5 p.) Udowodnij, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków. Zadanie 5. (8 p.) Z półkuli o promieniu długości R wycinamy stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości 2R. Następnie prowadzimy płaszczyznę równoległą do podstawy stożka, która przecina powstałą bryłę. Wyznacz odległość tej płaszczyzny od płaszczyzny podstawy stożka tak, aby pole otrzymanego przekroju było największe. Zadanie 6 (5 P.) Wyznacz wartość parametru a ∈ R tak, aby suma sześcianów różnych pierwiastków równania 6x2 + 6(a — 1)x — 5a + 2a2 = O była największa. Zadanie 7(3 P.) Aby rozwiązać układ równań ©Irek.edu.pl 34 można postąpić w następujący sposób: • rysujemy trójkąt ABC o bokach długości 50, 60. 70; • wpisujemy w ten trójkąt okrąg; • odległości wierzchołków A, B. C od punktów styczności z okręgiem oznaczamy x, y, z; • korzystając z własności trójkąta opisanego na okręgu, otrzymujemy: Postępując analogicznie, rozwiąż układ równań Zadanie 8.(6 p.) W okrąg o równaniu x2 + y2 = 169 wpisano kwadrat ABCD. Wiedząc, że A = (5, 12), oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu. Zadanie 9.(6 P.) Z koszyka, w którym jest dwa razy więcej kul czarnych niż białych, losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Opisz zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia losowego. Oblicz, ile jest kul w koszyku, jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania pary kul o różnych kolorach jest nie mniejsze niż ©Irek.edu.pl 9 22 35 Zestaw 23. Poziom rozszerzony Zadanie 1. (3 punkty) Przyjmujemy, że k jest liczbą wszystkich podzbiorów 7-elementowych zbioru 15-elementowego. Sprawdź, czy: a) liczba 9 jest dzielnikiem liczby k; b) liczba 12 jest dzielnikiem liczby k. Zadanie 2. (4 punkty) Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami czworokąta, gdzie A=(-6,1), B=(-1,2), C=(2,9), a D jest obrazem punktu B w symetrii osiowej względem prostej wyznaczonej przez punkty A i C. Oblicz współrzędne punktu D. Zadanie 3. (4 punkty) Wyznacz a i b wiedząc, że funkcja f określona wzorem przyjmuje w przedziale obustronnie domkniętym od -1 do 1 najmniejszą wartość dla x=0 i ta najmniejsza wartość jest równa 1. Uzasadnij, że dla wyznaczonych a i b funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla x=0. Zadanie 4. (5 punktów) Zdarzenia losowe A zawierające się w Ω i B zawierające sie w Ω sa takie, że: Oblicz prawdopodobieństwo P(A'*B') oraz P(A'|B), gdzie * oznacza przecięcie zbiorów. Zbadaj, czy A' i B' są zdarzeniami niezależnymi. Zadanie 5. (6 punktów) Ciąg (an) jest określony wzorem rekurencyjnym a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. b) Uzasadnij, że ciągi określone za pomocą wyznaczonego wzoru i wzoru rekurencyjnego są równe. c) Zbadaj monotoniczność ciągu (an). Zadanie 6. (7 punktów) Wyznacz wszystkie wartości parametru a zawartego w zbiorze liczb rzeczywistych, dla których układ równań ©Irek.edu.pl 36 ma co najmniej trzy różne rozwiązania. Zadanie 7. (9 punktów) Rozwiąż nierówność gdzie lewa strona jest sumą kolejnych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego. Zadanie 8. (3 punkty) W trapezie, którego podstawy mają długości a i b, suma miar kątów wewnętrznych trapezu przy podstawie a jest równa 900. Udowodnij, że odcinek łączący środki podstaw trapezu ma długość równą a - b/ 2. Zadanie 9. (8 punktów) Dany jest trapez prostokątny ABCD, gdzie Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt BDA. Wyznacz sumę kwadratów sinusów kątów wewnętrznych trapezu ABCD. Zadanie 10. (11 punktów) Sześcian o krawędzi długości 1 przecięto płaszczyzną π przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze x, gdzie x zawiera się w przedziale obustronnie otwarty od ) do π / 2. Oznaczmy przez f(x) pole przekroju sześcianu płaszczyzną π. a) Zbadaj różniczkowalność funkcji f. b) Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstremum funkcji f. c) Naszkicuj wykres funkcji f. ©Irek.edu.pl 37 Zestaw 24. Poziom rozszerzony Zadanie 10 (4p) Dane jest równanie x2 + (m - 3)x - 4m = 0 z parametrem m. a. Oblicz, dla jakich wartości parametru m równanie to ma dwa różne pierwiastki. b. Oblicz, dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki o tym samym znaku. Zadanie 11 (5p) Sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu (an) określonego wzorem an = 1 n +1 + n można wyznaczyć w następujący sposób: Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej n ≥1 zachodzi Postępując podobnie, oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu (bn) określonego wzorem bn = 1 n+2+ n Zadanie 12 (6p) Dany jest ośmiościan foremny o wierzchołkach A, B, C, D, E, F. a. Naszkicuj ten ośmiościan. b. Wskaż dowolną parę krawędzi prostopadłych, uzasadnij, że są one prostopadłe. c. Wypisz wszystkie pary krawędzi prostopadłych w ośmiościanie, przyjmując, że para {a,b} jest równa parze {b,a}. ©Irek.edu.pl 38 Zadanie 13 (6p) Farmakokinetyka to dział farmakologii badający szybkość procesów wchłaniania, dystrybucji i wydalania leków z organizmu. Przyjmijmy, że stężenie f(t) pewnego leku we krwi pacjenta, mierzone w mg/litr, opisane jest wzorem 1− t 2 f(t)= 32 ⋅ 2 gdzie t to czas w godzinach, mierzony od chwili podania pacjentowi leku, przy czym t≥ 1. a. Wyznacz stężenie leku we krwi pacjenta dla t = 2; wynik zaokrąglij do liczby całkowitej. b. Oblicz, po jakim czasie od podania leku jego stężenie spadnie do poziomu 8 mg/litr. c. Tworzymy ciąg (an) tak, że an = f (n) dla n ∈N+ udowodnij, że ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 2 2 Zadanie 14 (3p) Rozwiąż nierówność x 2 ≤ 27 x Zadanie 15 (5p) Na okręgu o promieniu r obrano dwa punkty A i B tak, że podzieliły one okrąg na dwa łuki o długościach odpowiednio 1 2 i obwodu okręgu. Na krótszym z 3 3 tych łuków obrano punkt C tak, że |AC| = 10, |BC|=13. a. Wyznacz |AB|. b. Wyznacz r. Zadanie 16 (lp) Dana jest parabola opisana równaniem y = (x - 3)2 +1. Tworzymy trójkąty ABC takie, że punkt A leży w początku układu współrzędnych, punkt B o współrzędnych (xb, yb) leży na paraboli, punkt C ma współrzędne (xb, 0). a. Napisz wzór funkcji P, określającej pole trójkąta ABC w zależności od xb dla xb> 0. b. Znajdź trójkąt o największym polu dla xb ∈ (0; 3); w odpowiedzi podaj współrzędne punktu C. ©Irek.edu.pl 39 Zadanie 17 (3p) Na podstawie danych z rysunku oblicz (sinα + cosα)2 Zadanie 18 (6p) W poniższej grze wygrana przysługuje każdemu graczowi, który wylosuje dwie kule zielone. Zasady gry: gracz rzuca trzykrotnie symetryczną monetą. Jeżeli moneta upadnie trzykrotnie na tę samą stronę, to gracz uruchamia maszynę losującą Ml; w przeciwnym wypadku gracz uruchamia maszynę losującą M2. Każda z maszyn losuje na raz dwie kule. W maszynie Ml jest 10 kul zielonych i 5 czarnych; w maszynie M2 są 2 kule zielone i 13 czarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej tj. prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul zielonych; wynik podaj w ułamku zwykłym. Zadanie 19 (5p) Dane są wyniki x1,x2,. . .,xn. Niech x oznacza ich średnią arytmetyczną, zaś s oznacza ich standardowe odchylenie. Udowodnij twierdzenia: a. jeżeli od każdego z wyników x1,x2,. . .,xn, odejmiemy tę samą liczbę rzeczywistą a, to średnia arytmetyczna tak uzyskanych wyników będzie równa x - a, b. jeżeli od każdego z wyników x1, x2,.. . , xn,, odejmiemy tę samą liczbę rzeczywistą a, to standardowe odchylenie nie ulegnie zmianie. ©Irek.edu.pl 40 Zestaw 25. Poziom rozszerzony Zadanie 10 (5p) Funkcja J dana jest wzorem f(x) = |x – 2| +|x + 3|. a. Wyznacz przedział, w którym funkcja f jest stała. b. Wyznacz równanie osi symetrii wykresu funkcji f c. Sprawdź, czy funkcja f jest parzysta. Zadanie 11 (6p) Dany jest kwadrat K o boku a. Dwie proste prostopadłe, przecinające się w punkcie P należącym do przekątnej kwadratu K wyznaczają w tym kwadracie dwa mniejsze kwadraty K1 i K2 i dwa prostokąty. Wyznacz, przy jakim położeniu punktu P suma pól kwadratów K1 i K2 jest najmniejsza. Zadanie 12 (5p) Figura A opisana jest układem nierówności Narysuj w podanym układzie współrzędnych figurę A i wyznacz jej pole. Zadanie 13 (4p) Na rysunku naszkicowany jest wykres funkcji f (x) = a sin bx dla x ∈. a. Na podstawie rysunku wyznacz wartości parametrów a i b. b. Dla znalezionych wartości a i b ustal, ile punktów wspólnych ma wykres funkcji g (x)= |a sinbx| + 4 z prostą o równaniu y=8 dla x∈. Zadanie 14 (5p) Zarząd pewnej spółdzielni mieszkaniowej postanowił, że mieszkańcy wyższych pięter w blokach wielopiętrowych będą płacić za windę więcej, niż mieszkańcy pięter niższych. Ustalono, że mieszkańcy parteru są zwolnieni z opłat za windę. Do rozliczania opłat za windę dla mieszkańców pięter od pierwszego do ostatniego wprowadzono wzór ©Irek.edu.pl 41 gdzie P (k) oznacza procentowy udział mieszkańców piętra o numerze k w całości kosztów windy w ich bloku; n oznacza liczbę pięter w bloku (np. jeżeli n = 10, to blok jest dziesięciopiętrowy, czyli ma parter i dziesięć pięter). Uzasadnij, że mieszkańcy każdego z bloków ponoszą całość kosztów utrzymania windy w ich budynku. Zadanie 15 (6p) Funkcja f dana jest wzorem f (x)= m−x gdzie m jest parametrem. x2 +1 a. Wyznacz pochodną funkcji f. b. Wyznacz wartość parametru m, wiedząc, że dla x = 2 funkcja osiąga minimum. Zadanie 16 (5p) Dane są dwa okręgi O1 (S1,1) i 02 (S2,3), przy czym S1S2 = 8. Leżący na odcinku S1S2 punkt P jest środkiem jednokładności, która przekształca okrąg 01 na okrąg 02. a. Wykonaj rysunek. b. Podaj skalę tej jednokładności. c. Znajdź długość odcinka PS1. Zadanie 17 (4p) Ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym wysokość jest równa 6 i krawędź podstawy jest równa 8, przecięto płaszczyzną, zawierająca krawędź boczną i wysokość przeciwległej ściany bocznej. a. Wykonaj rysunek. b. Oblicz pole przekroju. c. Podaj w zaokrągleniu do pełnych stopni kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy ostrosłupa. Zadanie 18 (5p) Oblicz, dla jakich wartości parametru p równanie kwadratowe x2 + x + log4 p = 0 ma dwa różne pierwiastki. Zadanie 19 (5p) Związek Ochrony Praw Konsumenta w pewnym kraju przeprowadził badania jakości wód mineralnych podawanych w restauracjach. Badania ujawniły, że w 10 % przebadanych restauracji zamiast wody mineralnej podaje się wodę z kranu nasyconą dwutlenkiem węgla CO2. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 10 losowo wybranych restauracji w tym kraju w dokładnie jednej podaje się wodę z kranu nasyconą dwutlenkiem węgla CO2 zamiast wody mineralnej. Wynik zaokrąglij do 3 miejsc po przecinku. ©Irek.edu.pl 42 Zestaw 26. Poziom rozszerzony Zadanie 10 (3p) Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f danej wzorem Zadanie 11 (6p) Wyznacz długość łamanej, będącej częścią wspólną wykresu funkcji f danej wzorem f (x) =|x| - 1 i kola o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 5. Zadanie 12 (6p) Funkcja f dana jest wzorem f (x)= mx2 + (m + 2)x - 1 4 a. Podaj, dla jakiej wartości parametru m funkcja f jest liniowa. b. Oblicz, dla jakiej wartości parametru m funkcja f jest kwadratowa i ma dokładnie jedno miejsce zerowe. c. Sprawdź, czy poniższa równoważność jest prawdziwa; odpowiedź uzasadnij. Funkcja f dana wzorem f (x)= mx2 + (m + 2)x - 1 ma dokładnie jedno miejsce 4 zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ R zachodzi f (x)≤ O. Zadanie 13 (3p) Rozwiąż równanie 4cos2x - 3 = O dla x ∈<-π,π> Zadanie 14 (4p) Wykaż, że dla n ∈ N+ prawdziwa jest równość Zadanie 15 (7p) Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a1 = 1, q = 0,2. a. Sumę a1 + a2 + a3 +... wszystkich wyrazów ciągu (an) przybliżono sumą jego pięciu początkowych wyrazów. Oblicz obie sumy i podaj błąd bezwzględny przybliżenia. b. Ile co najmniej początkowych wyrazów należy zsumować, aby błąd przybliżenia był mniejszy niż 10-4? ©Irek.edu.pl 43 Zadanie 16 (5p) Wykaż, że styczne do wykresu funkcji f danej wzorem f(x) = 2 poprowadzone x w punktach P1 = (1,2) i P2=(- 1,- 2) są równoległe. Zadanie 17 (5p) Trójkąt ABC (patrz rysunek) jest równoboczny. Na podstawie rysunku wyznacz wartości a, b, c, w poniższych równościach. Zadanie 18 (5p) Kieliszek ma kształt stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym. a. Oblicz, jaką część pojemności kieliszka zajmuje wino nalane do połowy wysokości kieliszka. c. Oblicz, do jakiej wysokości należy napełnić kieliszek winem, aby objętość wina była równa połowie pojemności kieliszka; w obliczeniach przyjmij, że 1 3 2 ≈ 0,8 Zadanie 19 (6p) Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką sześcienną, na której ściankach znajdują się cyfry 3, 4, 5, 6, 7, 8. a. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek uzyskanych w dwóch rzutach nie przekracza liczby 14. b. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że suma oczek uzyskanych w dwóch rzutach jest równa 10 pod warunkiem, że w każdym z rzutów uzyskano wynik, będący liczbą nieparzystą. ©Irek.edu.pl 44 Zestaw 27. Poziom rozszerzony Zadanie 11. (5 pkt.) Oblicz największą wartość funkcji Zadanie 12. (5 pkt.) Rysunek przedstawia sposób wpisywania kolejnych kwadratów — środki boków danego kwadratu stają się wierzchołkami następnego kwadratu. Oblicz obwód i pole piątego kwadratu. Zadanie 13. (7 pkt.) Punkty A = (- 4, 3) i B = (6, 7) są symetryczne względem pewnej prostej k. a) Wyznacz równanie prostej k. b) Wyznacz obraz punktu P = (8, 2) w symetrii względem prostej k. Zadanie 14. (7 pkt.) W trójkąt równoramienny, którego ramię jest równe 5 cm, a podstawa równa się 6 cm, wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa jego wierzchołki leżą na podstawie, a pozostałe leżą na ramionach trójkąta. Wyznacz obwód i pole prostokąta jako funkcję jego wysokości. Zadanie 15. (4 pkt.) Dana jest funkcja określona wzorem y = 3x 2 + 1 Udowodnij, że dla każdego x ∈ R funkcja ta spełnia warunek: y ∗y′ - 3x = O. ©Irek.edu.pl 45 Zadanie 16. (7 pkt.) Okno ma kształt przedstawiony na rysunku, przy czym półkola i koło są oszklone szkłem koloru żółtego, a pozostała część szkłem koloru błękitnego. Oblicz pole części oszklonej szkłem koloru błękitnego, wiedząc, że średnica wielkiego półkola ma 0,8 m. Zadanie 17. (6 pkt.) Soki owocowe rozlewane są do pudełek w kształcie prostopadłościanu, w którym stosunek długości krawędzi podstawy jest równy 1 : 2, a objętość wynosi 11. Jaka powinna być wysokość pudełka, aby zużyć jak najmniej materiału na jego wykonanie? Zadanie 18. (4 pkt.) Wykaż, że funkcja f(x) jest nieparzysta. Zadanie 19. (5 pkt.) Oblicz wartość wyrażenia ©Irek.edu.pl 46 Zestaw 28. Poziom rozszerzony Zadanie 12. (3 pkt.) Oblicz granicę: Zadanie 13. (5 pkt.) Jakie powinny być boki prostokąta o obwodzie 100 m, aby jego pole było mniejsze od 400 m2? Zadanie 14. (6 pkt.) Napisz wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji określonej wzorem f(x) =x2 — x —2 względem prostej y = 1. Zadanie 15. (7 pkt.) Stosując zasadę indukcji matematycznej, wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej zachodzi równość: Zadanie 16. (6 pkt.) Dany jest układ równań a) Rozwiąż ten układ. b) Dla jakich wartości parametru m rozwiązania x, y, z w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny? Zadanie 17. (7 pkt.) Mając dane współrzędne punktu C = (—5, 0) kwadratu ABCD oraz współrzędne punktu przecięcia się przekątnych S = (1, 2), wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu ABCD. ©Irek.edu.pl 47 Zadanie 18. (7 pkt.) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji: Zadanie 19. (3 pkt.) Wiedząc, że Zadanie 20. (6 pkt.) W pewnym szpitalu na oddziale położniczym badano wagę noworodków i uzyskano następujące dane (w kg): 3,65 ; 4,0 ; 3,7 ; 3,9 ; 3,95 ; 3,75 ; 3,6 ; 3,7 ; 3,35 ; 3,4 ; 3,85 ; 3,15 4,25 ; 2,9 ; 2,85 ; 4,45 ; 3,7 ; 4,1. a) Podaj najczęściej występującą wagę noworodków (dominantę). b) Oblicz średnią wagę noworodków. c) Oblicz, jaki procent noworodków ma wagę poniżej 3 kg. d) Podaj rozstęp wyników (różnica między największą a najmniejszą wagą). e) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany noworodek ma wagę powyżej 3 kg? ©Irek.edu.pl 48 Zestaw 29. Poziom rozszerzony Zadanie 12. (6 pkt.) Dane są zbiory: Na płaszczyźnie współrzędnych zilustruj zbiory A ∩ B i A ∩ B`. Zadanie 13. (6 pkt.) Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = ax2 + bx - 3. Suma miejsc 1 2 zerowych funkcji f jest równa 2 , a suma odwrotności jej miejsc zerowych 2 3 jest równa —1 . a) Wyznacz współczynniki a i b. b) Podaj zbiór wartości funkcji f c) Określ przedziały monotoniczności funkcji f Zadanie 14. (4 pkt.) Funkcja f określona jest wzorem 1 Rozwiąż równanie f   = f ( x)  x Zadanie 15. (5 pkt.) Oblicz siódmy wyraz ciągu (an), jeżeli suma jego pierwszych n wyrazów jest równa 5n2 - 4n + 1. Zadanie 16. (6 pkt.) W kulę o promieniu długości R wpisano walec o największej objętości. Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości tego walca. ©Irek.edu.pl 49 Zadanie 17. (8 pkt.) W pojemniku znajduje się 200 wybrakowanych części. 60 sztuk odrzucono z powodu wystąpienia wady A, 40 sztuk z powodu wady B, pozostałe z powodu wady C. Każda część ma tylko jedną wadę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając losowo z tego pojemnika 3 części, wybierzesz dokładnie: a) po jednej części z każdą wadą, b) dwie części z wadą A, c) dwie części z wadą B, d) wszystkie części z tą samą jedną wadą. Zadanie 18. (5 pkt.) Oblicz pole i obwód trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o równaniu x2 +y2 - 6x + l0y + 16=0. Zadanie 19. (10 pkt.) Korzystając z następującego zestawu danych: oblicz: a) średnią arytmetyczną b) medianę i dominantę, c) wariancję i odchylenie standardowe zestawu danych. ©Irek.edu.pl 50 Zestaw 30. Poziom rozszerzony Zadanie 11. (7 pkt.) Dla jakich wartości parametru m miejsca zerowe funkcji f(x) = (2m2 - 1)x2 - 2mx + 1 spełniają warunek x12 +x22 >2? Zadanie 12. (5 pkt.) Oblicz wartość wyrażenia Zadanie 13. (5 pkt.) Basia postanowiła codziennie biegać. Pierwszego dnia biegała 20 minut, a każdego następnego dnia o 5 minut dłużej. a) Którego dnia Basia będzie biegać 1,5 godziny? b) Po ilu dniach łączny czas biegania przekroczy 10 godzin? Zadanie 14. (4 pkt.) Półkole o promieniu długości 1 zwinięto w stożek. Oblicz: a) miarę kąta rozwarcia przekroju osiowego stożka, b) pole koła wpisanego w przekrój osiowy tego stożka. Zadanie 15 (4pkt) Dla jakiej wartości m wykres funkcji y = x + m ma co najmniej jeden punkt wspólny z okręgiem o promieniu r, którego środkiem jest początek układu współrzędnych? Zadanie 16. (8 pkt.) Dwa wierzchołki prostokąta leżą na osi x, a pozostałe należą do paraboli o równaniu f(x) = 4 – x2 i znajdują się powyżej osi x. a) Podaj wzór funkcji opisującej pole tego prostokąta w zależności od jego podstawy. b) Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest równe 6? c) Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest największe? ©Irek.edu.pl 51 Zadanie 17. (5 pkt.) Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej f Rozwiąż nierówność: f(x + l)+ 3 f(x— 1)— 5f(x)+ 6<0. Zadanie 18. (6 pkt.) Rozwiąż równanie: Zadanie 19. (6 pkt.) Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne oraz ©Irek.edu.pl 52 Zestaw 31. Poziom rozszerzony Zadanie 12. (8 pkt.) Wyznacz A∪B, A∩B, A\B, B\A zbiorów: Zadanie 13. (6 pkt.) Działka leśna zawierała przed 15 laty 250 000 m3 drewna, a obecnie zawiera 350 000 m3. O ile procent przeciętnie wzrasta ilość drewna na tej działce w ciągu roku (zakładamy stały przyrost procentowy)? Zadanie 14. (5 pkt.) Suma współczynników a, b, c równania ax2 + bx + c = O wynosi 24 Różnica między tymi współczynnikami jest stała, a jednym z rozwiązań równania jest liczba—3 Znajdź drugie rozwiązane tego równania. Zadanie 15. (5 pkt.) Dla jakich wartości parametru p wielomian W(x) = x3 — 3px + 9p —27 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste? Zadanie 16. (5 pkt.) W trójkącie ABC mamy |AB| = 6, |AC| = 12, | ∠BAC| = 120°. Oblicz: a) sin |∠ABC|, b) obwód trójkąta ABC. Zadanie 17. (5 pkt.) Oblicz objętość stożka wpisanego w kulę o promieniu długości R, wiedząc, że kąt rozwarcia stożka ma miarę 2α. Zadanie 18. (5 pkt.) Jaką wysokość i jaki promień powinna mieć puszka na konserwy w kształcie walca o objętości 128π cm3, aby na jej wykonanie zużyć najmniej materiału? Zadanie 19. (5 pkt.) Pogotowie ratunkowe dysponuje pewną liczbą karetek. Wciągu kilku miesięcy pracy stwierdzono, że w ciągu doby dana karetka będzie na miejscu w bazie z prawdopodobieństwem 0,4 jednakowym dla każdej karetki. Oblicz, ile karetek musi mieć do dyspozycji pogotowie, aby w razie wypadku prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedna karetka była na miejscu w bazie, było większe od 0,9. Zadanie 20. (6 pkt.) Kasia w ciągu godziny zdradziła sekret Ani trzem koleżankom. Przyjmując, że każda z koleżanek w ciągu kolejnej godziny opowie sekret Ani trzem innym koleżankom (nie znającym go jeszcze), oblicz, po jakim czasie sekret będzie znało ponad 360 osób (wynik podaj w pełnych godzinach). ©Irek.edu.pl 53 Zestaw 32. Poziom rozszerzony Zadanie 12. (7 pkt.) Suma miejsc zerowych funkcji kwadratowej f wynosi —3, a iloczyn miejsc 7 4 zerowych jest równy − . Do wykresu funkcji f należy punkt P (0, -7). a) Znajdź wzór funkcji f b) Dla jakich argumentów wartości funkcji f są ujemne? c) Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f Zadanie 13. (3 pkt.) Wykaż, że 3 5 2 + 7 − 3 5 2 − 7 = 2 Zadanie 14. (4 pkt.) Czy ilustracje geometryczne zbiorów: A={(x,y): x,y∈ℜ I x2+y2=1}, B={(x,y): x,y ∈ℜ i y = 1 − x 2 }, {(x,y): x,y ∈ℜ i x2 +y2 =1 i y ≤ O} są wykresami funkcji? Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 15. (8 pkt.) Dana jest funkcja f(x) = (2x2 - 1) (x + 1). a) Rozwiąż równanie f(sin x) = O. b) Rozwiąż nierówność f(2x) <2x + 1. Zadanie 16. (5 pkt.) Za 3 książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono 76 zł. Najdroższa z tych książek kosztowała o 4 zł mniej niż dwie pozostałe razem. Ile kosztowała każda książka? Zadanie 17. (8 pkt.) Dwóch równorzędnych przeciwników gra w szachy. Co jest bardziej prawdopodobne: a) wygranie dwóch partii z trzech, czy czterech partii z sześciu rozegranych, b) wygranie nie mniej niż dwóch partii z trzech, czy nie mniej niż czterech partii z sześciu rozegranych? (Remisów nie uwzględniamy). Zadanie 18. (5 pkt.) W prostopadłościanie przekątna d jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β. Kąt pomiędzy przekątną podstawy i jej bokiem ma miarę α. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość prostopadłościanu. Zadanie 19. (6 pkt.) Puszka na konserwy ma kształt walca. Jaką wysokość i jaki promień podstawy powinna mieć puszka, aby przy objętości puszki 250 cm3 zużyć jak najmniej materiału na jej wykonanie? Zadanie 20. (4 pkt.) Dany jest okrąg o równaniu (x + 2)2 + (y — 3)2 = 12 oraz punkt A = (-2, 0). Napisz równanie symetralnej odcinka, którego końcami są dany punkt A i środek S danego okręgu. ©Irek.edu.pl 54 Zestaw 33. Poziom rozszerzony Zadanie 13. (8 pkt.) Dla jakich wartości parametru a równanie x2 - 2x = 2x loga + log2a - 1 ma dwa różne pierwiastki dodatnie? Zadanie 14. (8 pkt.) Sporządź wykres funkcji f ( x) = x+2 −2 x −1 Zbadaj ciągłość tej funkcji w punkcie x0 = -2. Zadanie 15. (3 pkt.) Rzucamy dwiema kostkami sześciennymi. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy oczek równej 4 pod warunkiem, że bezwzględna wartość różnicy oczek wyrzuconych na poszczególnych kostkach jest równa 2. Zadanie 16. (5 pkt.) Liczba x jest pierwiastkiem równania 2 log x = log (4x — 4), zaś z jest 3z +4 z −1 = 81 . pierwiastkiem równania 3 a) Wyznacz liczbę y, tak aby liczby x, y, z były trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. b) Znajdź sumę sześciu początkowych wyrazów powyższego ciągu geometrycznego. Zadanie 17. (7 pkt.) x 2 Rozwiąż równanie: sinx +sin2x +sin3x = 4cosxcos cos 3x . 2 Zadanie 18. (5 pkt.) Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu o równaniu x2 +y2 - 4x - 10y + 20 = 0 względem prostej o równaniu x - 2y - 2 = 0. Zadanie 19. (8 pkt.) Jeden z boków kwadratu ABCD jest zawarty w prostej o równaniu 2x –y -2 = 0. Wierzchołek A ma współrzędne (1, 5). a) Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu. b) Oblicz pole kwadratu ABCD. Zadanie 20. (6 pkt.) Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę α. Wszystkie krawędzie boczne mają długość k i są nachylone do podstawy pod kątem o mierze β. Oblicz objętość tego ostrosłupa. ©Irek.edu.pl 55 Zestaw 34. Poziom rozszerzony Zadanie 12. (6 pkt.) Utarg pewnego sklepu w ciągu tygodnia wynosi 2400 zł. Procentowy rozkład utargu w poszczególnych dniach przedstawiono na diagramie kołowym. a) Przedstaw dane w postaci diagramu słupkowego. b) Oblicz średni utarg dzienny. c) Jaki procent tygodniowego utargu stanowi utarg w sobotę? Zadanie 13. (7 pkt.) Wyznacz m i n, tak aby równanie x2 + 3mnx + (m2 + n2) = O miało dwa rozwiązania; x1 = 1 oraz x2 = 5. Zadanie 14. (5 pkt.) Wykaż, że jeżeli a ≥ 0 i b ≥ 0, to prawdziwa jest nierówność: (a5 - 2a4b + a3b2 + a4b – 2a3b2 + a2b3) ≥0. Zadanie 15. (4 pkt.) Uzasadnij, że układ równań: ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zadanie 16. (6 pkt.) Oblicz sumę 1 - 4+7-10+13 -16+... „ gdy suma ta ma: a) 2n składników, b) 2n + 1 składników, c) n składników. Zadanie 17. (5 pkt.) Wyznacz obwód i pole trójkąta przedstawionego na rysunku. Zadanie 18. (7 pkt.) Rozwiąż nierówność logm (4- x2) ≥ logm (6x - 3) z niewiadomą x, wiedząc, że liczba 1 należy do zbioru rozwiązań tej nierówności. ©Irek.edu.pl 56 Zadanie 19 (4pkt) Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji różniczkowalnej f. Podaj rozwiązania równania f `(x)=0 należące do przedziału < -5;7>. Zadanie 20. (6 pkt.) Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną dolnej podstawy i środki dwóch krawędzi drugiej podstawy. Oblicz pole i obwód otrzymanego przekroju. ©Irek.edu.pl 57 Zestaw 35. Poziom rozszerzony Zadanie 12. (5 pkt.) Sporządź wykres funkcji f(x) = |x + 3| - 2. → a) Wyznacz taki wektor v o jaki należy przesunąć wykres funkcji f aby otrzymać wykres funkcji parzystej. b) Udowodnij, że funkcja otrzymana w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f → o wektor v jest funkcją parzystą. Zadanie 13. (5 pkt.) Dane jest przekształcenie P(x, y) → P(2y, - x + 1). Oblicz pole trójkąta będącego obrazem trójkąta ABC o wierzchołkach A= (0, 0), B = (0,2), C = (-2, -1) w tym przekształceniu. Sprawdź, czy przekształcenie P jest izometrią. Zadanie 14. (4 pkt.) Oblicz granicę: Zadanie 15. (6 pkt.) a) Sporządź wykres funkcji: b) Na podstawie wykresu funkcji ustal liczbę pierwiastków równania f(x) = k w zależności od parametru k. Zadanie 16. (5 pkt.) Wyznacz dziedzinę funkcji f(m) = 1 1 + , gdzie x1, x2 są różnymi x1 x 2 pierwiastkami równania x2- 2x + m2 -3 =0. Zadanie 17. (6 pkt.) Rozwiąż równanie ©Irek.edu.pl 58 Zadanie 18. (6 pkt.) W sześcianie o boku długości a wybieramy losowo cztery wierzchołki. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrane punkty będą wierzchołkami prostokąta. b) Oblicz sumę pól wszystkich takich prostokątów. Zadanie 19. (5 pkt.) Napisz równanie stycznej do krzywej f(x) =4 - x3, wiedząc, że jest ona równoległa do prostej 3x +y = 5. Zadanie 20. (8 pkt.) Wódz indiański wysłał trzech zwiadowców na zachód, północ i wschód. Każdy z nich oddalił się o 5 km od obozu i miał w zasięgu wzroku teren o promieniu 5 km. a) Jaki obszar kontrolują zwiadowcy? b) O ile zmniejszy się kontrolowany teren, jeśli jeden ze zwiadowców zostanie pojmany przez wrogie plemię (rozpatrz dwa przypadki)? ©Irek.edu.pl 59 Zestaw 36. Poziom rozszerzony Zadanie 12. (3 pkt.) Średnia arytmetyczna liczb a i b jest równa 9a b . Ile wynosi ? 13 a Zadanie 13. (5 pkt.) Dla jakich a i b funkcje Zadanie 14. (6 pkt.) Dane są funkcje: f(x) = mx2 + 1 oraz g(x)= logax. Wiedząc, że do wykresu funkcji f należy punkt A = (-2, -3), a do wykresu funkcji g należy punkt B = (9, 2), wyznacz: a) wzory funkcji f i g oraz sporządź ich wykresy, b) zbiór tych argumentów, dla których g(x) . b) Rozwiąż nierówność f(x)> 0 w przedziale <- π; π>. ©Irek.edu.pl 60 Zestaw 37. Poziom rozszerzony Zadanie 12. (4 pkt.) Niech 1 oznacza iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że 1 + 1 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej. Zadanie 13. (5 pkt.) Miejscem zerowym funkcji f(x) = ax + b jest liczba log24, a współczynnik kierunkowy jest równy granicy ciągu an, gdzie an = n 2 + 3n − n Sporządź wykresy funkcji: a) y= - f(x), b) y = f( - x) Zadanie 14. (8 pkt.) Dana jest funkcja f(x)= 3( x − 2 ) . 2x − x 2 a) Rozwiąż nierówność f(x) ≤ x. b) Ustal liczbę rozwiązań równania |f(x)| = m w zależności od parametru m. Zadanie 15. (4 pkt.) Rozwiąż równanie, w którym lewa strona jest sumą zbieżnego szeregu geometrycznego Zadanie 16. (3 pkt.) Oblicz bez użycia kalkulatora cos4 105° - sin4 105°. Zadanie 17. (6 pkt.) Robert znalazł w garażu kwadratowy arkusz blachy o długości 3 dm. Chce z niego zbudować pojemnik w kształcie prostopadłościanu. Poprosił o pomoc ojca. Razem zastanawiają się, jakie kwadraty należy wyciąć w narożnikach arkusza, aby objętość pojemnika była największa. Pomóż im rozwiązać ten problem. ©Irek.edu.pl 61 Zadanie 18. (5 pkt.) Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej o równaniu -x + y -2 = 0 i okręgu o środku S = (-3, 2) i promieniu długości 3. Zadanie 19. (7 pkt.) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość bryły, która powstaje w wyniku obrotu rombu o długości a i kącie ostrym α wokół prostej zawierającej jeden z boków tego rombu. Zadanie 20. (3 pkt.) Dwaj strzelcy trafiają do celu z prawdopodobieństwem równym 0,8 i 0,7. Strzelcy oddają po jednym strzale. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony: a) dwa razy, b) dokładnie raz, c) co najwyżej raz. Zadanie 21. (5 pkt.) Rozwiąż równanie log 1 x ⋅ log 2 x = − 4 ©Irek.edu.pl 1 2 62 Zestaw 38. Poziom rozszerzony Zadanie 13. (5 pkt.) Korzystając z wykresu funkcji y =f(x), wyznacz liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zależności od parametru m i sporządź wykres tej zależności. Zadanie 14. (5 pkt.) Budując halę sportowa, należy wykopać pod fundamenty ziemię o objętości 8000 m3. Przed rozpoczęciem prac skrócono termin prac o 5 dni i przez to dzienna norma wykopu ziemi wzrosła o 80 m3. Ile dni trwały prace? O ile procent podwyższono normę? Zadanie 15. (7 pkt.) Dana jest funkcja f(x) = x 2 + 6 x + 10 x+3 a) Wyznacz asymptoty wykresu funkcji f b) Określ przedziały monotoniczności tej funkcji. c) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f Zadanie 16. (4 pkt.) Rozwiąż nierówność: sin2x < 1 - cos x dla x ∈ <0; 2π>. Zadanie 17. (5 pkt.) 1 Rozwiąż nierówność:   2 4+ x x ≤4 Zadanie 18. (6 pkt.) Dany jest okrąg (x - 2)2 + (y - 1)2 = 3, a) Oblicz pole rombu opisanego na tym okręgu, jeśli kąt ostry rombu ma miarę 600. b) Oblicz długości przekątnych rombu. c) Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg. ©Irek.edu.pl 63 Zadanie 19. (6 pkt.) Zbadaj monotoniczność i oblicz granicę ciągu (an), gdy Zadanie 20. (5 pkt.) Przekątna prostopadłościanu o długości d tworzy z odpowiednimi ścianami bocznymi kąty o miarach α i β. Wyznacz objętość tego prostopadłościanu. Zadanie 21. (4 pkt.) Zadanie 22. (3 pkt.) Rzucamy pięć razy monetą. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wyrzuconych orłów? ©Irek.edu.pl 64 Zestaw 39. Poziom rozszerzony Zadanie 11. (7 pkt.) Dany jest wielomian W(x) = -x4 + ax3 + 7x2 + bx - 12. a) Wyznacz a i b, wiedząc, że wielomian W jest podzielny przez trójmian P(x) = x2+ 3x + 2. c) Dla wyznaczonych a i b rozwiąż nierówność W(x) ≥ 0. Zadanie 12. (7 pkt.) Podaj ilustrację graficzną równania logy x + logx y = 10 3 Zadanie 13. (5 pkt.) Dla jakich wartości parametru m liczby sin α i cos α są pierwiastkami równania x2 + mx - 1 = 0? 4 Zadanie 14. (5 pkt.) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości a. W trójkąt ten wpisujemy trójkąty równoboczne w ten sposób, że wierzchołkami nowego trójkąta są środki boków poprzedniego trójkąta. a) Oblicz pole dziesiątego trójkąta. b) Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób trójkątów. Zadanie 15. (5 pkt.) Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = 2 x − 1 w punkcie x0 = 5. Zadanie 16. (6 pkt.) Rozwiąż nierówność 2|x-1|+1 + 22|x-1| + 2 > 6. Zadanie 17. (4 pkt.) Z talii 24 kart losujemy 3 razy ze zwracaniem po jednej karcie. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 razy wylosujemy kiera. Zadanie 18. (6 pkt) Kąt rozwarcia stożka ma miarę π 4 . Jaki jest kąt wycinka kołowego, który po zwinięciu tworzy powierzchnię boczną tego stożka? Zadanie 19. (5 pkt.) Dane są wierzchołki A = (-6, 2) , B = (2, -2) trójkąta ABC oraz punkt H = (1, 2), w którym przecinają się wysokości tego trójkąta. Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta. ©Irek.edu.pl 65 Zestaw 40. Poziom rozszerzony Zadanie 12. (6 pkt.) Dla jakiego parametru m rozwiązaniem układu równań jest para liczb o przeciwnych znakach? Wyznacz tę parę. Zadanie 13. (4 pkt.) Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, wiedząc, że jej najmniejsza wartość wynosi - 1, a największa wartość funkcji w przedziale <2; 4> jest o 6 większa od najmniejszej wartości w tym przedziale. Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem osi y. Zadanie 14. (4 pkt.) Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x4 - 3x3 - 3x2 + ax + b. Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x — 2). Zadanie 15. (6 pkt.) Dane są liczby: a) Wyznacz wyraz a1 i różnicę r, wiedząc, że liczba a jest piątym wyrazem, natomiast liczba b dwunastym wyrazem ciągu arytmetycznego. b) Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Zadanie 16. (4 pkt.) Oblicz cos 2x, wiedząc, że cos x = 1 4 ( 2+ 6 ) Zadanie 17. (6 pkt.) Pole trójkąta prostokątnego jest równe 39 cm2, a wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego tego trójkąta ma 6 cm długości. Oblicz obwód tego trójkąta. Zadanie 18. (4 pkt.) Wyznacz wartości parametru a, tak aby okręgi: (x — 3)2 + (y - 2)2 = 4 i (x - a)2 + (y + 2)2 = 9 były styczne zewnętrznie. ©Irek.edu.pl 66 Zadanie 19. (6 pkt.) Rysunek przedstawia przekrój osiowy stożka. Wiedząc, że miara kąta α jest równa π 3 oblicz miarę kąta wycinka kołowego, który po zwinięciu tworzy powierzchnię boczną tego stożka. Zadanie 20. (5 pkt.) Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej 10n + 4n - 2 jest liczbą podzielną przez 3. Zadanie 21. (5 pkt.) Uzasadnij, że prosta o równaniu 3x – 4y- 1 = 0 jest styczna do wykresu funkcji f określonej wzorem f(x)= 3x − 5 ©Irek.edu.pl 67 Zestaw 41. Poziom rozszerzony Zadanie 11. (5 pkt.) Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym Zadanie 12. (4 pkt.) Wiedząc, że 2,6< 7 < 2,7 ‚ oszacuj wartość wyrażenia 7+2 3 Zadanie rozwiązujemy następująco: Postępując podobnie, uwolnij od niewymierności, a następnie oszacuj wartość wyrażenia 2 7 +3 7 −2 Zadanie 13. (4 pkt.) Dla jakich wartości parametru a równanie ax2 - (a - 3)x + 1 = O ma dwa pierwiastki różnych znaków? Zadanie 14. (5 pkt.) Dany jest wielomian W(x) = 6mx3 — 1 3mx2 + 1 3m —6. Dla jakiej wartości parametru m pierwiastkiem wielomianu jest parametr m? ©Irek.edu.pl 68 Zadanie 15. (7 pkt.) Dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach A = (2, —3), B = (4, 2) oraz wektor AB = [6, 8]. a) Oblicz pole trójkąta ABC. b) Wyznacz współrzędne obrazów wierzchołków trójkąta ABC w jednokładności o środku w punkcie O(O,O) i skali k=3. Zadanie 16. (5 pkt.) Dana jest funkcja f(x) = - x3-px2+ 5x- 2. a) Znajdź taką wartość p, dla której funkcja f osiąga minimum w punkcie x =5. b) Dla wyznaczonego p podaj przedziały monotoniczności funkcji f Zadanie 17. (6 pkt.) Harcerze zorganizowali biwak. Dziewczyny zabrały się do gotowania zupy. Wspólnymi siłami przygotowały pyszną grochówkę. Zupa znajdowała się w kotle w kształcie walca o średnicy 8 dm i wysokości 6 dm. Kocioł wypełniony był grochówką aż po same brzegi. Chochla miała kształt półkuli o promieniu 7 cm. Harcerze i kadra dostali po dwie chochle zupy. Czy wystarczyło zupy dla 210 harcerzy i 9 osób kadry? Jeśli nie wystarczyło, to ile zabrakło chochli zupy i dla ilu harcerzy? Zadanie 18. (9 pkt.) Sporządź wykresy funkcji f(x) = ax oraz g(x)= logb x, wiedząc, że a jest rozwiązaniem równania log5 (2a + 4) = 1, zaś b rozwiązaniem równania 1   2 3b −12 = (0,25) b+2 1 4 a) Sprawdź, czy punkt P =(2, ) należy do wykresów obu funkcji. b) Dla jakich x spełnione są nierówności: f(x) 2? Zadanie 19. (5 pkt.) W urządzeniu jest 5 lamp. Prawdopodobieństwo przepalenia się lampy w wyniku przepięcia w sieci wynosi 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w następstwie przepięcia: a) nie przepali się żadna lampa, b) przepali się jedna lampa, c) przepalą się trzy lampy? ©Irek.edu.pl 69 Zestaw 42 . Poziom rozszerzony Zadanie 12. (6 pkt.) Uporządkuj rosnąco liczby: Zadanie 13. (5 pkt.) Dana jest funkcja f(x)=(p—1)x2—4px+2p—3. a) Dla jakich p nierówność f(x) O i b> 0, sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: Zadanie 13. (4 pkt.) Znajdź argumenty, dla których funkcja f(x) = x4— 4x2 + 5 osiąga wartość najmniejszą oraz podaj tę wartość. Zadanie 14. (5 pkt.) Dla jakiej wartości parametru m wartość ułamka x 2 − mx + 1 jest większa od - 3 x2 + x +1 dla każdego x ∈ R? Zadanie 15. (6 pkt.) Ciąg liczbowy (an) określony jest wzorem (k − 2)n 2 + 3n + 4 gdzie k jest (k − 1)n 2 + 4n + 4 parametrem. a) Dla jakich wartości k granicą ciągu jest liczba 4? b) Wykaż, że dla k= 1 ciąg jest malejący. Zadanie 16. (5 pkt.) Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i styczną do paraboli f(x) = 9—x2 w punkcie P = (2, 5). Zadanie 17. (5 pkt.) Ołowiany stożek, którego przekrój jest trójkątem równobocznym o boku długości 8 3 cm, przetopiono na kulę. Oblicz objętość i pole powierzchni tej kuli. Zadanie 18. (8 pkt.) Punkty A = (5, 6) i B = (—1, 3) są końcami jednej z wysokości trójkąta równobocznego. Napisz równania okręgów opisanego na trójkącie oraz wpisanego w ten trójkąt, wiedząc, że punkt B nie jest jego wierzchołkiem. Zadanie 19. (5 pkt.) 1 3 Rozwiąż równanie log16 x + log8 x + log4 x + log2 x =8 . Zadanie 20. (7 pkt.) Mając dane: P(A) = 0,9 , P(B/A`) = 0,75 , P(B/A) = 0,95 , oblicz P(B). ©Irek.edu.pl 72 Zestaw 44 . Poziom rozszerzony Zadanie 12. (5 pkt.) Dla jakiej wartości x logx272 jest o 1 1 większy od logx8,5? 4 Zadanie 13. (6 pkt.) Dana jest funkcja f ( x) = x 2 − 6 x + 9 + x − 1 a) Sporządź wykres funkcji f b) Sporządź wykres funkcji g(x) = - f(x) c) Rozwiąż nierówność g(x) ≥ —4. Zadanie 14. (8 pkt.) Napisz równania stycznych do wykresu funkcji f(x) = x −1 i równoległych do x +1 prostej o równaniu y=2x+ 1. Zadanie 15. (7 pkt.) W zależności od parametru m wyznacz liczbę punktów wspólnych okręgu (x — 1)2 + (y + 3)2 = 3 i prostej x + y — m = O. Dla m = 1 wykonaj ilustrację graficzną. Zadanie 16. (3 pkt.) Oblicz liczbę składników sumy: Zadanie 17. (6 pkt.) Rozwiąż równanie 4 sin2x + sin22x = 3. Zadanie 18. (5 pkt.) Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: 6, 2 5 i 4 2 . a) Oblicz wartość kosinusa największego kąta. b) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zadanie 19. (5 pkt.) Szklankę o średnicy 0,3 dm napełniono pepsi—colą do wysokości 2 cm od górnej krawędzi. Ile kulistych kostek lodu o średnicy 2 cm można wrzucić do tej szklanki, nie powodując rozlania napoju? Zadanie 20. (5 pkt.) Pewna gra polega na jednoczesnym rzucie kostką sześcienną i monetą symetryczną. Wygrywamy wtedy, gdy otrzymamy szóstkę na kostce i orła na monecie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że grając trzy razy, przynajmniej raz wygramy? ©Irek.edu.pl 73 Zestaw 45 . Poziom rozszerzony Zadanie 11. (5 pkt.) Która z liczb a, b, c jest liczbą parzystą: Zadanie 12. (5 pkt.) Wykaż, że dla dowolnego całkowitego m liczba 1 6 . [3m(m + 3) (2m2 + 6m + 4) +6] jest kwadratem liczby całkowitej. Zadanie 13. (4 pkt.) Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f(x) = ax2 + bx + c, wiedząc, że x1 + x2 = 4 i x1.x2 = —3, natomiast współczynnik a funkcji f jest mniejszym pierwiastkiem równania 2x2 — 18x = —28. Zadanie 14. (5 pkt.) Rozwiąż nierówność: Zadanie 15. (6 pkt.) Dla jakich wartości parametru m pierwiastkami równania (x2 — 2mx +m2 — 1) (x — 1) =0 są trzy kolejne liczby nieparzyste? Zadanie 16. (7 pkt.) Oblicz pole i obwód figury F, gdzie F= ((x,y):x ∈ R i y∈ R i 1og32(x2 +y2)—3 log3 (x2 +y2)+2 ≤ 0}. Zadanie 17. (6 pkt.) Dane są okręgi: o1(S1, 1) i o2(S2, 1), gdzie S1 = (3, —1) i S2 = (k, —1). a) Napisz równanie okręgów i 02. b) Dla jakich wartości parametru k okręgi 01 i 02 są rozłączne? c) Przekształć okręgi 01 i 02 w symetrii względem punktu O = (0, 0) i napisz równania obrazów okręgów 01 i 02, przyjmując k = —1. Zadanie 18. (6 pkt.) Z wierzchołka kwadratu o boku długości 10 narysowano okrąg, tak że punkty przecięcia okręgu z kwadratem oraz środek tego okręgu utworzyły trójkąt równoboczny. Znajdź długość promienia tego okręgu. Zadanie 19 ( 6pkt) Jaką największą objętość ma walec wpisany w kulę o średnicy długości 12 cm. ©Irek.edu.pl 74 Zestaw 46 . Poziom rozszerzony Zadanie 12. (6 pkt.) Dane są zbiory: Wyznacz zbiory: A ∪ B` , A ∩ B. Zadanie 13. (5 pkt.) a 3 − 2a 2 + 3 Dla jakich liczb całkowitych a liczba jest także liczbą całkowitą? a 2 − 2a Zadanie 14. (5 pkt.) Wykaż, że długość przekątnej kwadratu o boku długości  11 + 6 2 − 11 − 6 2  jest liczbą naturalną. Oblicz obwód i pole tego   kwadratu. Zadanie 15. (7 pkt.) Dane są funkcje :f(x)=x2—2(m+3)x—3m+1 i g(x) = x2+2kx+2k—3. a) Dla jakich wartości parametrów m i k wykresy funkcji f i g są symetryczne względem osi x? b) Dla wyznaczonych wartości m i k napisz postać kanoniczną funkcji f i g. Zadanie 16. (6 pkt.) Wyznacz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w asymptotach wykresu funkcji f(x) = 3x − 4 , a trzeci bok zawiera się w stycznej do wykresu x−2 tej funkcji w punkcie (1, 1). Zadanie 17. (6 pkt.) Pole przekroju osiowego stożka jest równe P, a kąt rozwarcia stożka ma miarę α. Oblicz objętość tego stożka oraz jego pole powierzchni bocznej. ©Irek.edu.pl 75 Zadanie 18. (5 pkt.) W ciągu arytmetycznym różnica r jest równa liczbie natomiast wyraz pierwszy a1= ( 2 − 1) a) Wyznacz wzór na wyraz ogólny tego ciągu. b) Oblicz sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu. 2 Zadanie 19. (5 pkt.) Rozwiąż równanie cos 2x + cos x =k2 + 4m + 3, wiedząc, że k jest pierwiastkiem równania Zadanie 20. (5 pkt.) Rozwiąż nierówność log 1 log 4 (5 − x 2 ) ≥ 0 2 ©Irek.edu.pl 76 Zestaw 47 . Poziom rozszerzony Zadanie 12. (3 pkt) Dane jest równanie mx2 — 3(m + 1) x + m = 0 z niewiadomą x i parametrem m ∈ R. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których dane równanie nie ma rozwiązania. Zadanie 13. (4 pkt) A i B są zdarzeniami zbioru Ω i P(B)>O. Sprawdź, czy P(A/B) jest mniejsze niż Zadanie 14. (3 pkt) Udowodnij twierdzenie: Dla wszystkich wartości rzeczywistych zmiennej t wyrażenie cos(sint) przyjmuje wartości dodatnie. Zadanie 15. (5 pkt) Ciąg (an) zdefiniowany jest wzorem rekurencyjnym: Stosując zasadę indukcji matematycznej, wykaż, że żaden wyraz tego ciągu nie jest większy niż 1. Zadanie 16. (4 pkt) Objętość walca jest równa 250π cm3. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia podstawy. Dla jakiej długości promienia na wykonanie siatki walca zużyje się najmniejszą ilość materiału? Zadanie 17. (6 pkt) Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji podstawie wykonanego rysunku określ liczbę rozwiązań równania f(x) = g( x). Zadanie 18. (4 pkt) Rozwiąż nierówność ©Irek.edu.pl 77 Zadanie 19. (7 pkt) Rozwiąż nierówność: + + -F ... > 2k— 0.9(9), gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. Zadanie 20. (9 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę 1200, a długości boków tego trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny. Obwód trójkąta jest równy 30. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zadanie 21. ( 5pkt) W pudelku umieszczono 6 kul czarnych i 4 kule białe. Losujemy jedną kulę z pudelka. Jeżeli będzie to kula biała, to wrzucamy ją z powrotem do pudelka, jeżeli czarna, to zatrzymujemy. Następnie losujemy z pudełka jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie wylosowane za drugim razem kule są białe. ©Irek.edu.pl 78 Odpowiedzi: Zestaw 1 ©Irek.edu.pl 79 Zestaw 2 ©Irek.edu.pl 80 Zestaw 3 ©Irek.edu.pl 81 Zestaw 4 ©Irek.edu.pl 82 Zestaw 5 ©Irek.edu.pl 83 Zestaw 6 ©Irek.edu.pl 84 Zestaw 7 ©Irek.edu.pl 85 Zestaw 8 Zestaw 9 Zestaw 10 Zestaw 11 Zestaw 14 ©Irek.edu.pl 86 Zestaw 15 Zestaw 16 Zestaw 17 ©Irek.edu.pl 87 Zestaw 18 ©Irek.edu.pl 88 ©Irek.edu.pl 89 Zestaw 19 ©Irek.edu.pl 90 ©Irek.edu.pl 91 Zestaw 20 ©Irek.edu.pl 92 Zestaw 21 ©Irek.edu.pl 93 ©Irek.edu.pl 94 Zestaw 22 ©Irek.edu.pl 95 ©Irek.edu.pl 96 Zestaw 23 Zestaw 24 ©Irek.edu.pl 97 Zestaw 25 Zestaw 26 Zestaw 27 Zestaw 28 ©Irek.edu.pl 98 Zestaw 29 Zestaw 30 Zestaw 31 Zestaw 32 ©Irek.edu.pl 99 Zestaw 33 Zestaw 34 Zestaw 35 ©Irek.edu.pl 100 Zestaw 36 Zestaw 37 Zestaw 38 ©Irek.edu.pl 101 Zestaw 39 Zestaw 40 Zestaw 41 Zestaw 42 ©Irek.edu.pl 102 Zestaw 43 Zestaw 44 Zestaw 45 Zestaw 46 ©Irek.edu.pl 103